либо a^m = 1 по модулю n,

либо a^m2r = n − 1 по модулю n = 2^sm + 1 для некоторого r, 0 ≤ r < s.

Очень мало сильно псевдопростых чисел, не являющихся простыми; так

2047 = 23 * 89 — сильно псевдопросто по основанию 2,

1373653 = 829 * 1657 — по основанию 2 и 3,

25326001 = 2251 * 11251 — по основанию 2, 3 и 5,

3215031751 = 151 * 751 * 28351 — по основанию 2, 3, 5 и 7.

Метод интересен, потому что aⁿ вычисляется за время, растущее не быстрее, чем ln n. Это утверждение вытекает из соотношений:

а⁰ = 1, а¹ = а,

a²ⁿ = (а * а)ⁿ, a²ⁿ⁺¹ = (a * a)ⁿ * а.

Все, что нужно для работы, у вас есть. Больше делать нечего, кроме собственно составления программы.

Кстати: знаете ли вы две универсальные конструкции в информатике? Первая — «известно, что…». Вторая — «это и нужно сделать…».

Я надеялся не приводить в этой книге никаких готовых программ. Программирую не я, а вы. И я не очень люблю смотреть, как подростки копируют программу, набирая ее на клавиатуре и при этом не отдавая себе отчета в том, что она делает и как устроена. Но сказать, что делает та или иная программа, может оказаться настоящей головоломкой, Программы, которые мы будем обсуждать, написаны на некотором воображаемом языке[10]. Вам придется по крайней мере сделать усилие, чтобы перевести их на ваш обычный язык: Бейсик, LSE или Паскаль. Условная команда записывается в виде

(последовательность команд выполняется тогда и только тогда, когда условие истинно)

или

(если условие истинно, то выполняется последовательность команд, заключенная между ТО и ИНАЧЕ, в противном случае выполняется та последовательность команд, которая расположена между ИНАЧЕ и КОНЕЦ_ЕСЛИ).

В обоих случаях КОНЕЦ_ЕСЛИ играет роль закрывающей скобки, связанной с открывающей скобкой ЕСЛИ. Мы будем использовать цикл

Последовательность команд, содержащаяся между ВЫПОЛНЯТЬ и ВЕРНУТЬСЯ, повторяется, ПОКА условие истинно.

* Головоломка 17. Для забавы. Вот легко понимаемая программа. Здесь n и b — два натуральных числа и b нечетно (это существенно)

Вы можете попробовать выполнить ее вручную для

n = 2⁷⁷ − 3, b = 7.

Забавно, не правда ли? Несмотря на свою исключительную» простоту, эта программа, кажется, новая…

*** Головоломка 18. Посерьезнее. Эта — несомненно более трудная. И тоже неопубликованная. Боюсь, что вы можете избаловаться… На вход программы подается n — нечетное натуральное число.

Я не запрещаю вам перевести эту программу на ваш любимый язык, а затем испытать ее для различных значений n. Есть маленький шанс, что вы угадаете, на что она способна. Это не очевидно!

** Головоломка 19. Вклад Жака Гебенстрейта. Я обязан Жаку Гебенстрейту следующей программой. Она была предложена в том виде, в каком я ее привожу, без какого-либо комментария (это было сделано без злого умысла с его стороны: сам он получил не больше от того, кто дал ему эту программу).

Как вам кажется, что вычисляет эта программа?

Мы собираемся предложить здесь игры для программирования. Мы выбрали их потому, что они не требуют придумывания выигрывающей стратегии при составлении программы. Каждая игра ставит вас перед, вообще говоря, непредсказуемой ситуацией. Вы должны играть, соблюдая правила и имея в виду добиться определенной цели. Вам следовало бы развить собственную стратегию. После того, как вы предложили свой ход, компьютер сообщает новое состояние игры, затем изменяет это состояние некоторым почти полностью определенным образом. Ваша стратегия должна оценить, как именно.