Сколько существует возможностей разделить пополам узор, составленный из 4 х 4 клеток, не пересекая их? При этом мы пренебрежем различием верх - низ и левое - правое. (Такие решения можно перевести друг в друга простым поворотом.) Тот, кто как следует повозится с таким делением, найдет, худо - бедно, 6 способов.

А если попробовать разделить поле 6x6 клеток? Английский мастер головоломок Генри Э. Дьюдени нашел 255 способов деления такого поля. Для шахматной доски с 64 клетками (8Х8) компьютер рассчитал 92 263 варианта деления!

Существует множество аналогичных задач, над которыми бьются шахматисты и математики. Излюбленными остаются задачи такого рода: сколько ферзей (или слонов, или ладей) можно выставить на одну доску, чтобы они не угрожали друг другу? (Для тех, кто не играет в шахматы, следует заметить, что ферзь имеет право ходить во все стороны, включая и диагонали, сколь угодно далеко.) Любители шахмат определили, что на доске могут находиться 8 ферзей.

Тут встает следующий вопрос: сколько существует вариантов их расстановки? В 1850 г. Франц Наук опубликовал в лейпцигской «Иллюстрированной газете» ответ: таких основных позиций 12.

Поскольку мы много говорили о зеркальных плоскостях, надо надеяться, вы, не задумываясь, проведете плоскость симметрии через шахматную доску сверху вниз. Это будет первым решением.

Следующую плоскость зеркального отражения вы можете провести слева направо, еще две плоскости пройдут по диагонали. Таким образом, мы нашли еще четыре решения. Теперь повернем поле на 180° и снова проведем две диагональные плоскости зеркального отражения и одну - сверху вниз. Но вот провести плоскость симметрии слева направо мы больше не сможем: она даст нам только ту же картину, которую мы уже видели.

Таким образом, путем простого зеркального отражения и вращения мы добавили к основной позиции фигур еще семь вариантов. За одним-единственным исключением, эта операция возможна и для всех остальных основных положений, которые нашел Наук. В упомянутом исключительном случае существует только три отражения. Всего ферзи могут быть одновременно расставлены на шахматной доске, не угрожая друг другу, в 92 различных позициях.

Этот пример учит нас тому, как можно извлечь пользу из наличия симметрии. Разумеется, сначала необходимо было установить, что на иоле могут находиться только 8 ферзей. Потом нужно было выработать 12 основных исходных позиций, что, конечно, было нелегко. Но остальные 80 вариантов можно было найти, отнюдь не будучи специалистом в шахматах. Достаточно было знать, как действует зеркало. С другой стороны, следует признать, что наверняка существует немало выдающихся шахматистов, которые никогда не слыхали о плоскостях симметрии.

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯХ

Говорят, что всякую проблему можно рассматривать с трех точек зрения: с моей, с твоей и с точки зрения фактов.

Несомненно, что-то в этом афоризме есть. Стакан может быть полупустым или наполовину полным. В кармане может быть целых 5 рублей или всего лишь 5 рублей! Пассажиры переживают сильный шторм, а видавший виды капитан в то же время ощущает лишь свежий бриз.

Определим, что такое шахматная доска. Можно сказать, что это 64 клетки, расположенные в 8 продольных рядов по 8 клеток в каждом, так что в целом все вместе они образуют квадрат. Но можно выразиться иначе: это квадрат, разделенный на 64 равные квадратные клетки. (В обоих случаях надо бы еще сказать о черных и белых полях, но, поскольку для наших целей это обстоятельство несущественно, опустим эту часть определения.) В первом случае мы образуем большой квадрат из маленьких, во втором - делим большой на маленькие.

Один из вариантов расстановки на шахматной доске восьми ферзей, при котором эти фигуры не могут угрожать друг другу. Остальные комбинации получают путем зеркального отражения

Ради любопытства спросим, а на сколько частей можно разделить квадрат так, чтобы возникли маленькие, но одинаковые квадратики? Очевидно, что квадрат делится как минимум на 4 меньших квадрата. На 2 или на 3 квадрата разделить его невозможно. При следующем делении каждый из четырех малых квадратов разделится на 4 еще меньших, то есть всего станет 16 квадратов. Ход деления мы узнали. Результат всякий раз получим умножением на 4. Соответственно при следующем делении 16 квадратов мы получим 64, то есть шахматную доску. Существуют только две плоские фигуры, которые можно разделить на две равные части, причем эти части будут точным уменьшенным воспроизведением больших фигур. Так как мы привыкли делить пополам все, что встречается вокруг, приходится только удивляться тому, что лишь в двух случаях мы можем соблюсти сформулированное выше условие. Это такие фигуры: прямоугольный раЬнобедренный треугольник и параллелограмм с соотношением сторон 1: √ 2.

Такой параллелограмм в одном частном случае - в форме прямоугольника - играет существенную роль в искусстве и технике. Прямоугольник, длинная сторона которого больше его короткой стороны в √ 2 раз (то есть в 1,4142 раза), воспринимается нами как соразмерный. Именно такой или близкий к нему формат картин предпочитают художники.

Только равнобедренный треугольник и параллелограмм с соотношением сторон 1:√ 2 можно разделить пополам, так что полученные фигуры будут подобны первоначальным

В фотографии широко распространены форматы 7Х10 (прежде был 6x9) и 13Х18. Если рассчитать соотношение сторон, получается 10:7 ≈ 1,43, а 18:13 ≈ 1,38, то есть числа, близкие к √ 2 = 1,4142.

Более точно придерживаются отношения 1 : √ 2 в технике. На нем основан формат бумаги. Так, при формате АО (841 х 1189 мм) отношение сторон составляет 1,413 ≈ √ 2. Если перегнуть лист пополам, по большей стороне, получится формат А1 (841Х1189/2, то есть 841X594 мм), где 841:594 = 1,415. Дальше снова складывается пополам большая сторона. Получается формат A3. При следующем складывании мы получим известный формат А4, в котором 291:210 = 1,414. Такое деление идет дальше до формата А8 (74:52).

Параллелограммы с соотношением сторон 1 :√ 2, 1 :√ 3 и т. д. можно разделить на две, три и соответственно более частей, так что у новых полученных подобных фигур соотношение сторон сохранится первоначальным

Тот, кто имеет дело с бумагой, знает, что существуют еще два других ряда - для суперобложек и прочих целей. Ряд В начинается с 1414:1000 = 1,414 и ряд С - с 1297:917 = 1,414...

Книга, которую вы читаете (и, хотелось бы надеяться, не без интереса), имеет формат 260Х200 мм, а 260:200 = 1,3.

Конечно, вы обратили внимание, что формат бумаги здесь обозначен не совсем так, как принято: не через произведение сторон, а через их отношение, но мы позволили себе это для большей наглядности.

Мы могли бы сказать, что расчет формата бумаги, отвечающего стандарту, производится путем повторного деления листа с соотношением сторон 1:√ 2, начиная с формата 917Х1297 мм. Но правильнее будет другое определение: стандартный расчет бумаги производится путем пропорционального увеличения листа с соотношением сторон 1:√ 2, последовательно начиная с формата 52Х74 мм. В обоих случаях следовало бы сделать оговорку, что при делении (или умножении) всякий раз берется сторона с относительной длиной √ 2.

В старину подобные трапеции выкладывались по углам наборных полов; каждая составная часть в них подобна целой фигуре

Вспомним, что прямоугольник является лишь частным случаем параллелограмма и что параллелограмм с соотношением сторон 1:√ 2, равно как и прямоугольный равнобедренный треугольник, можно разделить на две уменьшенные копии.

Параллелограмм, одна из сторон которого равняется √ 3, можно разделить на 3 уменьшенные подобные части. В общей форме: параллелограмм с соотношением сторон 1:√ n можно разделить на n одинаковых подобных частей.