Существует еще множество фигур, имеющих самые различные варианты разделения. Мы же рассмотрим еще один мотив, который иногда выкладывали на старинных кафельных полах по углам. Это трапеции, которые зеркальное отражение превращает в цельный мотив узора. Здесь снова возникает «отражение». Значит, в таких узорах допустимы комбинации плоских фигур, которые нельзя путем поворота или вращения совместить друг с другом, то есть «левые» и «правые».

Как уложить бруски или кирпичи, чтобы конструкция не имела сквозных 'швов'

Приведенный здесь рисунок подводит нас к делениям без нарушения сплошности. Если при уменьшении формата бумаги поверхность фигуры пересекал разрыв (складка или черта), то в нашем главном узоре существуют линии, которые не продолжаются, а упираются в другие линии. Иногда особенно желательно полностью избежать деления с разрывами. Скажем, хотелось бы, чтобы стена кирпичного дома не имела шва, пересекающего всю стену сверху донизу. Инструкции по сварке барабанов котлов и нефтяных труб большого диаметра запрещают соприкосновение двух продольных и двух поперечных швов. В каждый поперечный или круговой шов может упираться лишь один продольный шов одного направления. Продольный шов другого направления должен быть непременно смещен в сторону. Благодаря этому разрывы в продольном шве будут распространяться только до следующего поперечного шва.

Теперь вы, наверное, уже догадались, какая предлагается вам задача: соберите из стандартных деталей (кирпичей, паркетин или листов жести) изображенную здесь поверхность, не нарушая ее сплошности.

ЛЕГЕНДЫ РУДОКОПОВ

В старину рудокопы были людьми сугубо практическими. Они не забивали себе голову названиями всевозможных горных пород, которые встречали в штольне, а просто делили эти породы и минералы на полезные и бесполезные, ненужные. Нужные они извлекали из недр, из них плавили медь, свинец, серебро и другие металлы, а ненужные сваливали в отвалы.

Для полезных (на их взгляд) минералов они подыскивали наглядные и запоминающиеся имена. Можно никогда не видеть копьевидного колчедана, но без особого труда представить его себе по названию. Не сложнее по названию отличить красный железняк от бурого железняка.

Для бесполезных камней (как уже было сказано - на их взгляд) горняки нередко находили названия в преданиях и легендах. Так, например, произошло название руды кобальтовый блеск. Кобальтовые руды похожи на серебряные и при добыче иногда принимались за них. Когда из такой руды не удавалось выплавить серебро, считалось, что она заколдована горными духами - кобольдами.

Тяжелый шпат (барит). Рудокопы в стариых выбирали названия для минералов по внешним признакам. Тот, кто однажды взвесил на руке этот минерал и всмотрелся в форму его кристаллов, не забудет его названия

Когда же минералогия превратилась в науку, было открыто великое множество пород и минералов. И при этом все чаще возникали трудности с изобретением для них наименований. Новые минералы часто называли по месту находки (ильменит - в Ильменских горах) или в честь знаменитого человека (гетит - в честь Гете) или же давали ему греческое или латинское название.

Музеи пополнялись грандиозными коллекциями камней, которые становились уже необозримыми. Не слишком помогали и химические анализы, потому что многие вещества одного и того же состава образуют подчас кристаллы совершенно различного облика. Достаточно вспомнить хотя бы снежинки.

Существуют тысячи различных узоров снежинок

В 1850 г. французский физик Огюст Браве (1811-1863) выдвинул геометрический принцип классификации кристаллов, основанный на их внутреннем строении/По мнению Браве, мельчайший, бесконечно повторяющийся мотив узора и есть определяющий, решающий признак для классификации кристаллических веществ. Браве представлял себе в основе кристаллического вещества крошечную элементарную частицу кристалла. Сегодня со школьной скамьи мы знаем, что мир состоит из мельчайших частиц - атомов и молекул. Но Браве оперировал в своих представлениях крошечным «кирпичиком» кристалла и исследовал, каковы могли быть у него углы между ребрами и в каких соотношениях его стороны могли находиться между собой (Для большей наглядности автор упрощает историю вывода решеток Браве. Предшественник Браве - французский кристаллограф Р. Ж. Гаюи (1743-1822) - действительно представлял себе кристаллы сложенными из элементарных «кирпичиков». О. Браве заменил эти «кирпичики» центрами их тяжести и таким образом перешел от «кирпичной кладки» Гаюи к пространственной решетке. - Прим. ред).

Каждый кристалл можно поместить в систему координатных осей

В кубе три ребра расположены всегда под углом 90° друг к другу. Все стороны имеют равную длину. У кирпича углы тоже составляют 90°. Но его стороны различной длины. У снежинок, наоборот, мы не найдем угла 90°, а только 60 или 120°.

Составленный из квадратов ряд можно разделить диагоналями на ряд других квадратов

Браве установил, что существуют 7 комбинаций ячеек с одинаковыми или разными сторонами (осями) и углами. Для углов он принял только два варианта: равный 90° и не равный 90°. Только один угол во всей его системе в порядке исключения имеет 120°. В самом скверном случае все три оси и все углы ячейки различны по величине, при этом в ней нет углов ни в 90, ни в 120°. Все в ней косо и криво, и, можно подумать, в мире кристаллов таким не должно быть места. Между тем к ним относится, например, сульфат меди (медный купорос), голубые кристаллы которого обычно всем так нравятся.

Куб содержит 6 пирамид (для большей наглядности изображена только одна). На каждой из шести квадратных граней можно построить аналогичные пирамиды

В некоторых из этих 7 пространственных решеток элементарные «кирпичики» можно упаковать по-разному. Для нас, знающих сегодня о строении атома, это нетрудно представить и продемонстрировать с помощью шариков для пинг-понга. Но 125 лет назад гениальная идея Браве была новаторской и открывала новые пути в науке Весьма вероятно, что и Браве исходил из узоров кафеля или мотивов шахматной доски.

Если мы разделим квадратные поля диагоналями, то возникает новый рисунок из квадратов, стоящих на углах. В трехмерном Кпостранстве это соответствует кубу, разложенному на шесть пирамид. Каждая такая пирамида составляет половину октаэдра.

Четырнадцать решеток Браве. Они строятся в семи возможных сингониях (осевых системах). Но при этом во внимание принимается также еще и расположение атомов. Так, кубы нижнего ряда соответствуют одной и той же кубической ячейке

Те кто когда-нибудь выращивал кристаллы поваренной соли, нают, что соль может кристаллизоваться в кубах, а может - в октаэдрах. Иными словами, экспериментальные наблюдения совладают с теоретическими соображениями.

Испробовав возможные варианты упаковки для всех семи осевых систем, Браве вывел 14 решеток. Мы приводим их здесь в нашем современном атомистическом изображении.

Если у куба отрезать углы, возникнут новые грани, в данном случае это будут грани октаэдра

Рассматривая решетки Браве внимательней и пробуя мысленно построить из них кристаллы, вы, вероятно, увидите, как можно провести в них плоскости и оси симметрии. Эти возможности сразу расширятся, если мы в одной из элементарных ячеек образуем новые грани. Возьмем куб (естественно, мысленно!), поставим его на угол и обрежем (все так же мысленно) все углы, тогда у него образуются совершенно новые треугольные грани. А из квадратных граней возникнут восьмиугольники: тем самым появятся новые мотивы симметрии.