Теория центра тяжести с точки зрения практической механики, возможно, была развита в дошедшей до нас в виде отдельных фрагментов книге «О рычагах»^{26}. Математическое изложение теории центра тяжести, очевидно, впервые приведено также в не дошедшем до нас трактате «О равновесии», значительно большем по объему, чем «О равновесии плоских фигур».

В первой книге трактата «О равновесии плоских фигур» изложена теория равновесия рычага. Однако этот трактат имеет гораздо более важное значение: это основы общей теории равновесия, построенной на системе аксиом.

Исходя из действительных и простейших фактов опыта, Архимед сумел обобщить эмпирический материал техники и привести его с помощью математики в научную систему.

Теория рычага основана на следующих предпосылках, которые Архимед считает очевидными:

«1. Равнее тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

3. Точно так же, если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.

5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены.

6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.

7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры»^{27}.

Заметим, что когда Архимед говорит о действии на рычаг подвешенных грузов (тяжестей), он основывается на свойствах центра тяжести, понятие которого считает известным; это также говорит в пользу предположения о том, что этот трактат был не первым его механические сочинением.

В частности, предполагается, что центр тяжести тела, свободно висящего на нити, располагается на линии нити и что подвешенные тела действуют на рычаг в точке подвеса весом, сосредоточенным в центре тяжести. В последующих доказательствах Архимед имеет дело лишь с весами тел и их центрами тяжести.

Далее Архимед доказывает семь теорем, первые три из которых разъясняют смысл сформулированных выше предпосылок. Так, теорема III гласит: «Неравные тяжести будут уравновешиваться на неравных длинах, причем большая тяжесть на меньшей длине»^{28}.

В теореме IV определяется центр тяжести системы двух тел: «Если две равные величины не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из обеих этих величин, центром тяжести будет середина прямой, соединяющей центры тяжести этих величин»^{29}.

В теореме V Архимед применяет этот метод к системе трех тел, расположенных так, что центр тяжести среднего из них находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести крайних. Согласно этой теореме, центр тяжести такой «составной величины» совпадает с центром тяжести среднего тела.

Особо можно выделить теоремы VI и VII, в которых формулируется и доказывается основной закон рычага.

Теорема VI формулируется следующим образом: «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны их тяжестям»^{30}.

В теореме VII закон равновесия рычага распространяется на случай несоизмеримых фигур. В теореме I второй книги трактата этот закон распространяется на случай криволинейных квадрируемых фигур.

Помимо указанных выше принципов Архимед пользуется в ходе доказательств еще одним, который, однако, в числе исходных предпосылок явно не фигурирует. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: равновесие рычага не нарушится, если груз, подвешенный в точке А рычага, заменить двумя равными грузами половинного веса, точки подвеса которых расположены симметрично относительно точки подвеса замещаемого груза. Это положение мы будем называть принципом замещения. Хотя в ходе доказательств принцип замещения Архимед применяет с достаточной отчетливостью, однако он оградил бы свое сочинение от упреков самых требовательных критиков, если бы поставил его в число своих исходных предпосылок.

Заметим также, что аксиомы Архимеда являются первым существенным шагом в развитии понятия момента силы. Архимед с достаточной ясностью отмечает, что действие подвешенного груза на рычаг пропорционально его весу и расстоянию точки подвеса от точки опоры рычага. Оставалось лишь найти форму этой зависимости — и Архимед ее нашел. Он доказал, что действие подвешенного груза на рычаг прямо пропорционально величине груза и расстоянию точки приложения от неподвижной опоры рычага.

«Вникнув в сущность архимедовых аксиом, — писал академик А.Н. Крылов, — мы видим, что он ввел здесь новый элемент, производящий движение, именно произведение силы на ее расстояние до точки опоры, — то, что было впоследствии названо моментом силы и что производит вращательное движение тела»^{31}. Первая книга трактата «О равновесии плоских фигур» заканчивается определением центров тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции.

Во второй книге трактата Архимед переходит к определению центров тяжести фигур, образуемых при пересечении параболы прямой. Доказывается ряд теорем (предложений), например: «Если две площади, ограниченные (каждая) прямой и параболой и могущие быть приложенными к заданной прямой, не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из них обеих, центр тяжести будет на прямой, соединяющей их центры тяжести, причем вышеупомянутую прямую он разделит таким образом, что ее отрезки будут обратно пропорциональны этим площадям»^{32}.

«У всякого сегмента, ограниченного прямой и параболой, центр тяжести делит диаметр сегмента так, что прилежащий к вершине сегмента отрезок в полтора раза больше отрезка у основания»^{33}.

Эти предложения тесно связаны с работами Архимеда по геометрии. Примером применения теоретических положений механики к геометрии может также служить определение площади сегмента параболы, основанное на законе рычага и теоремах о центре тяжести плоских фигур, которое приведено в математическом сочинении Архимеда «Квадратура параболы». О тесной связи методов механики и математики в творчестве Архимеда свидетельствует «Эфод, или послание к Эратосфену о механических теоремах». В этом произведении механика рассматривается как средство решения геометрических задач. Правда, Архимед не считал механический метод строгим, он рассматривал его как удобный прием для получения некоторых геометрических результатов, которым после этого надлежало дать строгое геометрическое доказательство.

Среди теорем «Эфода» большой интерес представляет лемма о центре тяжести конуса, для доказательства которой Архимед разбивает конус плоскостями, параллельными основанию, на тонкие диски равной высоты. Нахождение центра тяжести конуса сводится к нахождению центра тяжести сегмента параболы.

Другим замечательным трудом Архимеда по механике является его более поздний трактат «О плавающих телах». Существует предположение, что это была вообще его последняя работа. Согласно легенде, Архимед пришел к открытию своего основного гидростатического закона случайно, решая задачу о составе короны, которую царь Гиерон заказал сделать из золота, но подрядчик изготовил из сплава золота и серебра.