где (х) и (у) обозначают кванторы общности, которые часто называют также универсальными кванторами. Эта формула выражает истинное общее высказывание, известное как коммутативный (переместительный) закон для сложения, который обычно словесно передают так: сумма не меняется от перестановки слагаемых.
С помощью высказываний с универсальным квантором формулируются общие законы науки, в частности математические законы, теоремы и их следствия. Обратите внимание, что термин "универсальный" относится только к общим высказываниям определенной предметной области, например, математики, физики, экономики и других наук. Очевидно, что даже в математике не все высказывания имеют универсальный характер. Например, формула х + у = 5 удовлетворяется только при определенных числовых значениях переменных, а именно только тогда, когда х = 1 и у = 4, или х = 2 и у = 3, или х = 3 и у = 2, или х = 4 и у = 1. Поэтому нельзя утверждать, что данное равенство выполняется для всех чисел. Можно лишь сказать, что существуют числа, которые удовлетворяют равенству х + у = 5. Вместо слов " существуют числа х и у" можно ввести квантор существования. Тогда указанное равенство можно представить в такой символической форме:
(Ех) (Еу) (х + у = 5),
где (Ех) и (Еу) - кванторы существования.
В традиционной логике эти высказывания называют частными суждениями. Такие суждения оцениваются как истинные или ложные.
Таким образом, один из способов образования высказываний состоит в том, что сначала мы составляем пропозициональную функцию, где фигурируют соответствующие переменные, а затем связываем их кванторами общности и существования. Благодаря этому получаются общие и частные высказывания.
Принципиально другой путь образования сложных (составных) высказываний состоит в объединении двух или нескольких простых высказываний с помощью логических операторов или связок, которые выражаются терминами "и", "или", "если, то" и др. Этот способ напоминает грамматический прием образования сложных предложений путем использования сочинительных и подчинительных союзов. Так, в предложении "Заря сияла на востоке, и золотые ряды облаков, казалось, ожидали солнце", тоже употребляется союз "и", связывающий два простых предложения.
Однако логические связки отличаются от грамматических союзов тем, что они объединяют суждения не по их смыслу, а только по значению их истинности. В отличие от этого грамматические союзы соединяют предложения по их смыслу, придавая сложному предложению определенный целостный, единый смысл.
Таким образом, при логическом объединении высказываний абстрагируются от конкретного содержания и смысла высказываний. Поэтому с точки зрения обыденного сознания некоторые логические операции кажутся явно парадоксальными. Именно поэтому начинающие изучать логику здесь сталкиваются с наибольшими трудностями. Чтобы их преодолеть, необходимо с самого начала понять, что логический подход является более общим, и потому он не может учитывать все конкретные особенности употребления союзов в грамматике.
3.4. Основные логические операции над высказываниями
Прежде чем перейти к определению логических операций и связок, посредством которых образуются сложные высказывания из простых, необходимо руководствоваться следующими допущениями.
1. Любое высказывание в классической логике имеет одно и только одно из двух значений истинности - "истину" или "ложь". С этой точки зрения истинностное значение будущих событий остается неопределенным.
2. Значение истинности сложного высказывания зависит исключительно от истинностных значений входящих в него простых высказываний. Поэтому истинностное значение сложного высказывания представляет собой функцию истинности от образующих его простых высказываний.
3. При образовании сложных высказываний учитывается лишь истинностное значение входящих в него простых высказываний, а не их смысл.
Простейшей из логических операций является отрицание, с помощью которого из данного высказывания образуется противоречащее ему высказывание. В обычном языке операция выражается словами "неверно, что" или просто "не", в символическом - знаком отрицания, поставленным перед высказыванием. Если дано высказывание х, то его отрицание будет -x. В обычной речи отрицание чаще всего стоит перед глаголом и именной частью сказуемого. Например, отрицанием высказывания "2 есть четное число" будет высказывание "Неверно, что 2 есть четное число", которое ложно. Отрицая его, получим высказывание "Неверно, что 2 не есть четное число", которое равнозначно высказыванию "2 есть четное число". Это означает, что двойное отрицание приводит к первоначальному высказыванию. Обратите внимание, что высказывание, полученное путем отрицания первоначального, является противоречащим ему, т.е. оно отрицает нечто, но не утверждает что-то. Так, когда мы говорим, что "этот лист бумаги не белый", то не утверждаем, что он зеленый, синий или фиолетовый.
Для определения отрицания используется матрица (таблица) истинности, в которой в левой колонке даются два значения истинности ("истина" и "ложь") первоначального высказывания, а в правой колонке - его отрицания (табл.1). Истинность высказывания будет обозначаться буквой "и" или числом 1, ложь - буквой "л" и числом 0.
Если высказывание истинно, то противоречащее ему высказывание будет ложно, и, наоборот, если высказывание ложно, то противоречащее высказывание будет истинно.
Конъюнкция (логическое произведение) двух или нескольких простых высказываний образуется путем их объединения логической связкой "и". Например, если обозначить одно из простых высказываний буквой х, а другое - у, тогда их конъюнкцией будет сложное высказывание "х и у" или "х ∧ у", где знаком ∧ обозначен конъюнктивный оператор (логическая связка). Простые высказывания, входящие в сложное, называются конъюнктивными членами.
Конъюнкция будет считаться истинной, если и только если все ее конъюнктивные члены будут истинными. Наличие хотя бы одного ложного члена превращает всю конъюнкцию в ложное высказывание. Исходя из этого нетрудно построить таблицу истинности для конъюнкции (табл. 2).
Дизъюнкция (логическая сумма) двух или нескольких простых высказываний образуется путем объединения их логической связкой "или". Союз "или" в языке чаще всего употребляется в исключающем смысле, когда происходит выбор между двумя альтернативами: либо одно, либо другое. Реже используется этот союз в неисключающем смысле, т.е. выражается словом "а также". В логике и математике связка "или" употребляется преимущественно в неисключающем смысле. Так, например, дизъюнкция "2 меньше 3 или 3 меньше 5" понимается в неисключающем смысле, так как не только 2, но и 3 меньше 5.
Неисключающая дизъюнкция считается ложной в том и только в том случае, когда все ее дизъюнктивные члены будут ложными. Поэтому достаточно одного истинного члена, чтобы дизъюнкция была истинной. Исключающая дизъюнкция истинна тогда, когда только один из ее членов является истинным, а другой - ложным. Она будет ложной, если оба ее члена одновременно истинны либо ложны. Оператор дизъюнкции обозначается символом ∨ - для неисключающей дизъюнкции и символом ∨ - для исключающей дизъюнкции.
Учитывая принятые соглашения, мы можем построить таблицы истинности (табл. 3) для неисключающей (слева) и исключающей (справа) дизъюнкции.
Операция импликации состоит в образовании сложного высказывания из двух простых высказываний посредством логической связки, обозначаемой словами "если..., то... " и приблизительно соответствующей условному предложению в естественном языке. В логике эту связку называют импликацией, и мы будем обозначать ее стрелкой.