Таким образом, для выявления логической формы необходимо располагать формализованным языком, т.е. построить символический, искусственный язык, который нередко отождествляют с исчислением.
Формализованный логический язык строится не столько для сокращения записей и удобства общения, сколько для обоснования правильности рассуждений, которые осуществляются на естественном языке. Еще в прошлом веке известный немецкий логик и математик Готлоб Фреге обращал внимание на то, что искусственные языки, в частности в математике и логике, строятся в ущерб легкости и краткости общения, в чем вы убедитесь после знакомства с символическими языками логики.
Знакомство с такими языками мы начнем с логики высказываний. Это простейший язык, в котором совершенно отвлекаются от внутренней логической структуры высказывания и рассматривают его как нечто целое: каждое высказывание характеризуется только с точки зрения его истинностного значения, т.е. как истинное или ложное. Сами высказывания мы будем обозначать переменными х, у, z,..., х1, у1, zi. Каждая переменная может принимать только два значения: "истину" и "ложь", которые можно обозначить как 1 и 0. Элементарные (атомарные) высказывания могут объединяться в сложные (молекулярные) высказывания с помощью логических операторов, которые называют также связками, коннекторами или константами. Как мы увидим в дальнейшем, они приблизительно соответствуют некоторым грамматическим союзам. Зная истинностное значение элементарных высказываний и правил оперирования логическими связками, можно легко определить истинностное значение сложных высказываний, которые будут выступать как определенные логические функции. Подобно тому как в математике путем задания аргументов вычисляют значение математической функции, в логике высказываний определяют значение логической функции, образованной из элементарных (атомарных) высказываний. Аналогия с терминологией, заимствованной из химии, наглядно показывает, как сам процесс образования молекулярных высказываний из атомарных, так и в особенности тот факт, что высказывание, являющееся элементарным, считается далее неразложимым на части.
Нетрудно понять, что такое представление о высказывании крайне упрощает дело и является абстракцией, но оно дает возможность лучше понять структуру рассуждений на простейшем уровне. В дальнейшем можно вносить уточнения, дополнения в эту структуру, чтобы выразить реальную внутреннюю связь между элементами высказываний. Как мы покажем в гл. 5, именно для этого строится логика предикатов, где в рассуждениях учитывается внутренняя структура высказываний. Указанный способ анализа дает возможность понять, как происходит переход от простых логических систем к сложным, посредством увеличения истинностных значений и введения дополнительных логических операций. Это относится прежде всего к числу истинностных значений высказываний. Наряду с привычными двумя значениями истинности (истина и ложь) классической логики в современной неклассической логике рассматривают несколько значений истинности, например "истинно", "ложно" и "неопределенно". В вероятностной (индуктивной) логике оперируют даже бесконечным количеством значений истинности, поскольку вероятность имеет непрерывную шкалу значений в интервале 0 ≤X≤1.
Кроме того, высказывания можно анализировать не по их истинностному значению, а оценивать с точки зрения обоснованности содержащегося в нем знания или отношения к нему познающего субъекта посредством модальных категорий. О них мы подробнее скажем в конце этой главы. Классическая двузначная логика является простейшей логической системой, в которой легче всего понять, как образуются сложные высказывания из простых и как определяются сами логические операции над ними.
3.3. Способы образования сложных высказываний
Сложные суждения образуются из простых двумя основными способами:
1) путем квантификации высказываний;
2) объединением простых или элементарных высказываний с помощью логических связок или операторов.
Первый способ представляет собой метод получения общих суждений путем использования логических кванторов, характеризующих объем суждения. Прежде чем перейти к его обсуждению, рассмотрим понятие функции-высказывания, которое играет важную роль в логике.
Высказывания в функции-высказывании оцениваются с точки зрения их истинностного значения, поэтому такая функция называется также истинностной функцией. Она образуется по аналогии с математической функцией, но в отличие от последней, аргументами в ней являются не числа и другие математические объекты, а логические объекты - высказывания. В связи с этим ее называют также пропозициональной функцией или - что менее благозвучно - высказывательной функцией. Значениями ее аргументов и самой функции являются "истина" и "ложь". Таким образом, здесь мы имеем дело с пропозициональной функцией двузначной классической логики.
Чтобы определить понятие пропозициональной функции, рассмотрим следующие примеры:
х - простое число; у - металл; z - студент.
По форме эти выражения напоминают высказывания, но они не определяют никакого конкретного высказывания, ибо содержат переменные, значение которых остается неизвестным. Здесь напрашивается аналогия с алгебраическими функциями или формулами, которые могут выражать конкретные арифметические зависимости. Так, например, линейная функция у = ax + в получает вполне определенное значение, если вместо постоянных и переменных подставляются конкретные числа.
Точно так же пропозициональные функции логики превращаются в конкретные высказывания, если вместо логических переменных подставляются определенные имена. Так, в первом примере, если вместо х подставить число 3, то получится истинное высказывание "3 - простое число". Если же вместо х подставляется число 4, то получится ложное высказывание "4 - простое число". Соответственно этому во втором примере, если вместо у подставить "железо", то получится истинное высказывание "железо-металл". Если вместо у подставляется "фосфор", то получится ложное высказывание "фосфор - металл".
Наконец, в третьем примере, если вместо переменной подставить фамилию студента Иванова, то получится истинное высказывание "Иванов - студент". Итак, одни значения переменных удовлетворяют пропозициональным функциям, другие нет, т.е. в первом случае они превращают их в истинные, во втором - в ложные, но в обоих случаях делают их определенными, конкретными высказываниями.
Отсюда легко дать определение пропозициональной функции, под которой мы будем понимать любое выражение, содержащее переменные, которые при подстановке вместо них постоянных превращают выражение в конкретное высказывание.
Здесь просматривается явная аналогия между логическими, пропозициональными и математическими функциями. Но аналогия не означает тождества, так как в пропозициональной функции вместо переменных можно подставлять имена не только чисел, но и любых нематематичесих объектов, как показывают второй и третий примеры. С этой точки зрения пропозициональная функция является более глубокой абстракцией, чем математическая функция, хотя и аналогична ей.
Чтобы превратить пропозициональные функции в подлинные высказывания, можно, во-первых, придать переменным конкретные значения, как это было показано выше; во-вторых, можно пойти по линии квантификации высказываний. Для пояснения обратимся к примеру. Выражение
x + у = у + x
можно превратить в конкретное высказывание, если вместо переменных х и у взять определенные числа. Но можно получить высказывание общего характера, если мы свяжем переменные кванторами, которые показывают, что рассматриваемое тождество выполняется для всех чисел. Поэтому мы можем записать его в следующей форме:
(х)(у)(х + у = у + х),