Больцано не согласен и с законом обратной связи содержания и объема понятия. Он исходит из убеждения в наличии простых, т. е. неделимых далее по своему содержанию, понятий, являющихся в то же время единичными по объему, т. е. имеющими только один объект. Как будет показано дальше, это убеждение связано с онтологическими предпосылками философии Больцано, с учением о простых и неделимых субстанциях. Концепция созерцаний-в-себе также подкрепляет и оправдывает отрицание закона обратной связи содержания и объема. В отношении объема и содержания все созерцания одинаковы, а созерцания-в-себе в отличие от действительных созерцаний являются логическими элементами, и к ним должны быть применимы законы логики. Созерцания-в-себе просты по содержанию и единичны по объему (см. 21, 1, 353). Содержание Больцано рассматривает не как совокупность свойств, характеризующих понятие, а как сумму частей понятия. В понятиях «круглый шар» и «шар» объем, согласно Больцано, один и тот же, а содержание первого понятия больше, чем второго, так как в нем имеется два представления, а в последнем — одно. Содержание у Больцано отличается от смысла. В понятиях «3⁵» и «5³» содержание одно и то же, а смысл различен. Другой пример, иллюстрирующий неправомерность закона традиционной логики, Больцано рассматривает на следующих предложениях: «Человек, знающий все европейские языки» и «Человек, знающий все живые европейские языки». По закону обратной связи содержания и объема первое понятие имеет больший объем, но меньшее содержание, чем второе. По Больцано же, второе понятие имеет как большее содержание, так и больший объем. Во второе понятие к содержанию добавляется представление «живые». По объему же оно больше потому, что совокупность людей, знающих живые европейские языки, больше совокупности людей, знающих живые и мертвые языки. Философ справедливо указывает на недостатки закона обратной связи, и при определенной интерпретации с его примерами можно согласиться. Например, по определению известно, что свойство круглости уже содержится в понятии «шар». Но ведь можно, как Больцано, представить такое сложное понятие «шар», которое не содержит в определении или своих составных частях понятия круглости. Что касается другого примера, то все будет зависеть от того, что понимать под объемом понятия «человек, знающий все европейские языки»: количество ли действительных людей, знающих все европейские языки, живые и мертвые, или количество возможных, мыслимых людей независимо от того, сколько их на самом деле.

В «Наукоучении» Больцано рассматривает целый комплекс проблем, связанных с модальными логиками, получившими развитие только в наше время. Больцано исследует такие понятия, как «необходимость», «случайность», «возможность». Заслугой его нужно считать установление четкого различия между логическим и онтологическим употреблением этих понятий. В строгом смысле слова, говорит он, мы применяем эти понятия к бытию, или действительности (см. там же, 21, 1, 229). Во втором, или несобственном, значении понятия «необходимо», «возможно», «случайно» относятся к истинам-в-себе. Так, говорят, что свойство В необходимо присуще предмету А независимо от того, является ли предмет и свойство чем-то существующим или нет. Когда указывают, например, что каждое уравнение непрямой степени имеет реальный корень, то не имеют в виду действительного существования уравнения или корня (см. там же, 231–232). В логическом определении модальностей Больцано исходит из понятия необходимости. Другие модальности определяются из него. Мыслитель рассматривает также ряд важных положений по логике норм, логике вопросов, приказов и т. д.

Для нас наиболее интересны обсуждаемые Больцано металогические и семантические проблемы выводимости, логического следования и аналитического и синтетического знаний. Он вводит в логику понятие переменных и в отличие от своих предшественников полностью осознает значение этого для развития ряда важнейших логических понятий. Переменные называются у него изменяющимися представлениями. На их основании рассматриваются формы высказываний и логического вывода. Вот что Больцано пишет о значении переменных в логике: «Открытие, с правильностью которого, мы полагаем, нельзя было бы не согласиться ни одному читателю, является открытием того, что мы во множестве предложений… отчетливо того не сознавая, предполагаем изменчивыми определенные составные части и их отношение к истине, которое принимают эти предложения, если на месте изменчивых частей появляются другие» (82, 82). Если, например, в предложении «Человек Кай смертен» заменять представление «Человек Кай» на другие, то будем получать формы предложений в отношении к их истинности. Это очень близко к тому, что в логике высказываний называют пропозициональной функцией. «X смертен», «X — человек» и т. п. являются не предложениями, а только функциями, поэтому им нельзя дать характеристики истинности или ложности. При замене переменной X постоянными, определенными понятиями образуются высказывания со значениями «истинно» или «ложно». Так, при замене «Человек Кай» именами людей мы получаем истинные высказывания. Подставляя же на место этого «изменяющегося» представления какие-либо другие понятия, можем получить ложные или беспредметные высказывания. Для Больцано понятие «изменяющиеся представления» не имеет буквального смысла, так как у него ни понятия, ни предложения не изменяются. Изменяющиеся представления, или понятия, образуются как бы при сравнении друг с другом группы предложений, в которых ряд представлений одни и те же. Этот догматизм в понимании логических элементов мешал Больцано рассмотреть формы, структуры предложений и выводов.

Одним из самых важных достижений больцановской логики была его теория логического следования. Ее разработка оказалась возможной именно благодаря введению понятия изменяющихся представлений. Основанием для определения выводимости, или следования (Больцано еще не различает понятия логического следования и логической выводимости), является понятие совместимости предложений относительно их истинности или ложности. Совместимыми предложениями являются предложения А, В, С, D если на место переменных в них представлений i, j… можно подставить такие представления, что все А, В, С, D… окажутся истинными. Так, если мы в предложениях «Этот цветок красный», «Этот цветок благоухает» и «Этот цветок принадлежит к 12-му классу системы Линнея» заменим представление «этот цветок» на представление «роза», то все предложения окажутся совместимыми. Примером несовместимых предложений будут следующие: «Ни одно конечное существо не всезнающе», «Человек — конечное существо» и «Человек всезнающ», если представления «конечное существо», «человек» и «всезнающий» рассматриваются в них как переменные. Какое бы представление ни поставить на их место, предложения не станут истинными все вместе. Выводимыми предложения М, N, О… из предложений А, В, С… относительно переменных i, j… будут в том случае, если каждая совокупность представлений, которая делает истинными на месте i, j… А, В, С…, делает также истинными М, N, О… Семантическое по своей сущности определение выводимости у Больцано близко к понятию логического следования у А. Тарского[5].

Нужно особенно подчеркнуть значение исследований Больцано по вероятностной логике, которую он строит, исходя из открытого им способа вариации представлений. Вероятность понимается им как логическое отношение между высказываниями. Если из совместимых предложений А, В, С, D… при замене в них представлений i, j становятся истинными всегда А, В, С, D… и какое-либо предложение М, то вероятность выведения М из этих предложений относительно i, j равна единице и М является достоверным относительно этих посылок. Если М несовместимо с А, В, С, D… относительно i, j, то вероятность его выведения равна нулю. Во всех остальных случаях мы имеем значения вероятности выведения М из А, В, С, D… в пределах между 1 и 0. Больцано предложил и метод вычисления вероятности. Понятие логической вероятности у Больцано очень близко экстенсиональной вероятностной функции Р. Карнапа, который, по всей видимости, не знал результатов, полученных чешским логиком.