Можно ли назвать Больцано механистическим детерминистом? На этот вопрос следует ответить отрицательно, но, конечно, последовательно материалистического и диалектического понимания детерминизма мы у него тоже не найдем. Причинность не носит у него априорного характера. Правда, он различает причинно-следственные связи в области сверхчувственных вещей, субстанций, и эмпирической реальности. Открытие первых происходит на основе чистых понятий, т. е. априорно, вторых — посредством опыта. Но ведь Больцано, как мы знаем, говорит, что причинно-следственные связи между субстанциями мы познаем опосредствованно в наших восприятиях, что через явления узнаем мы о сущности. Причинность и необходимость строго разделяются Больцано. Случайные, эмпирические события связаны причинноследственными отношениями. Философ даже говорит об относительности категорий случайности и необходимости в применении их к определенным предметам и понятиям (см. 21, 2, 230–233). Мотивы и намерения рассматриваются Больцано как виды причин, которые в свою очередь начинают цепь причин и следствий. Он не указывает, что для мотива и цели также имеются причины, и считает, что свобода, свободное решение и свободное действие не имеют определяющей основы (см. 21, 3, 253–254). В то же время он говорит, что, чем больше субстанция действует из внутренних причин, тем она свободнее.

Важное место в онтологической системе Больцано занимает проблема бесконечности. Ей почти полностью посвящена работа «Парадоксы бесконечного». Ни одно из определений бесконечности, данное другими мыслителями, не удовлетворяет Больцано. Он критикует субъективно-идеалистическое понимание бесконечного и вообще математических понятий. Понятия бесконечного, множества, числа и т. п. выражают, по Больцано, внутренние свойства предметов и не зависят от нашей познавательной способности. В полемике с психологизмом он постоянно подчеркивает объективность понятий: множество не создается нашим умом, а существует в действительности; отношения между вещами не плод нашего сознания, они объективны и не зависят от него. На простых примерах Больцано стремится показать независимость реальных множеств от деятельности сознания. Многие стали бы утверждать, полагает он, что «центральный атом пуговицы на моем сюртуке и центральный атом того яблока на яблоне не имеют ни малейшего отношения друг к другу и друг с другом ничем не связаны и только благодаря тому, что я думаю о них одновременно, возникает некоторый род связи между ними». Это ложное утверждение, так как «еще до того, как мыслящее существо связало оба атома в своем представлении, они уже находились во взаимодействии, например, в силу притяжения и т. п…. было бы совершенно неверно утверждать, что только благодаря тому, что их мыслят вместе, между ними возникли отношения, которых без этого не было бы, возможность мыслить вещи никоим образом не составляет основания для возможности их существования» (8, 21). Именно поэтому, делает вывод Больцано, невозможность мыслить одновременно бесконечное множество вещей вовсе не означает невозможности его объективного существования. Он, как мы видим, в полном согласии с отделением реального процесса мышления от его логических элементов и форм различает возможность субъективную, или возможность в мышлении, и возможность объективную, или логическую. Логика рассуждений философа ведет от указания логической возможности существования бесконечности к доказательству такого существования. Известный математик Ван Хао правильно отмечает курьезность такого способа доказательства действительного существования (см. 77, 74).

Ранее уже приводилось доказательство Больцано существования бесконечного множества истин, которое основывалось на утверждении существования хотя бы одной истины. Мыслитель говорит о двух типах бесконечного — в области несуществующего, среди истин- и предложений-в-себе и в действительном мире. Доказательство того, что в сфере логических и математических объектов существует бесконечное, молчаливо предполагается действительным и для реальных субстанций, их состояний и свойств. Историки математики нередко осуждающе относятся к смешению философски-спекулятивного и математического подходов в работах Больцано. По-видимому, это не совсем справедливо, ведь правильные философские, методологические основания помогли мыслителю сделать ряд научных открытий или близко подойти к ним.

Вместе с Лейбницем Больцано отстаивает в математике актуально бесконечное, подробно разбирая недостатки понимания бесконечного рядом математиков и философов. К гегелевскому определению бесконечного он относится двояко. Когда Гегель пренебрежительно говорит о так называемой дурной бесконечности, Больцано с ним согласен: «Если… Гегель, Эрдман и другие представляют себе математическую бесконечность только как величину, которая изменяется и не имеет границ в своем возрастании… то я охотно присоединяюсь к ним в отрицательном отношении к этому понятию о величине, которая только бесконечно возрастает, но никогда не достигает бесконечности» (8, 12). Но Гегель и его последователи рассматривают бесконечное только как качественное бесконечное и находят его в боге, в абсолютной идее. Больцано совершенно правильно замечает, что количественная и качественная бесконечности существуют в единстве: «Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой-либо предмет, которому он был бы вправе приписывать свою бесконечность как качество, не обнаружив раньше в этом предмете в каком-либо отношении бесконечной величины или бесконечного количества» (там же, 13). Заметим, что человек в процессе познания начинает с исследования качественной стороны предметов. Это соответствует движению познания от чувственного к логическому. Что касается бесконечного, то его исследование предполагает уже довольно высокую степень развития абстрактного, теоретического мышления, поэтому Больцано прав, говоря, что количественные характеристики бесконечного обнаруживаются прежде, чем качественные.

Больцано считает, что определение многими математиками бесконечного как предела изменения величины неверно. Ноль, например, не может рассматриваться как бесконечно малая величина. Неверно, по мнению философа, и определение, которое дает Спиноза, ибо оно слишком узко. Для Спинозы бесконечным является только то, что не способно к дальнейшему увеличению. Но ведь математик не только прибавляет к бесконечной величине конечную, но может производить над бесконечными величинами различные операции: прибавляет к одной бесконечной величине другую, умножает их и т. д.

Больцано является предшественником Кантора в создании теории множеств. Кантор высоко оценивает творчество чешского математика, отмечая при этом и его недостатки. «Больцано, — пишет он, — может быть, единственный, у кого собственно бесконечные числа получают определенные права, по крайней мере о них многократно говорится; однако я с ним не согласен как раз в том, как он с ними обращается, не давая им настоящего определения, и считаю, например, § 29–33 этой книги („Парадоксы бесконечного“. — В. К.) беспочвенными и ошибочными. Автору не хватало для настоящей формулировки понятия определенно бесконечных чисел общего понятия множества и точного понятия количества. Хотя оба понятия и выступают у него в отдельных местах в зародыше и в виде частных случаев, однако он не доходит, как мне кажется, до полной ясности и определенности; этим объясняются многие непоследовательности и даже ошибки этого ценного сочинения» (42, 26).

При анализе свойств бесконечного Больцано исходит из диалектики части и целого, формы и содержания. Свойства целого не могут быть теми же, что и свойства частей. Целое приобретает ряд новых свойств, отличных от свойств частей. Больцано различает свойства частей предмета и свойства структуры предмета как целого, т. е. свойства, которые возникают вследствие отношений между частями. Если части не обладают некоторым свойством, то должно ли оно также отсутствовать в целом? По Больцано, каждое целое имеет и должно иметь много таких свойств, которых нет у частей. Автомат имеет свойство подражать движениям живого человека; отдельные же его части — пружины, колеса и пр. — лишены этого свойства (см. 8, 68. 21, 2, 389). Поэтому математические операции с бесконечными величинами должны отличаться от операций с конечными величинами, являющимися частями бесконечных. Правда, Больцано не всегда следует своим в принципе верным положениям и в конкретных примерах неудачно использует правила, действительные в области конечных величин, для операций с бесконечными множествами.