Больцано близко подходит к пониманию мощности множества, к определению бесконечного множества как множества, элементы которого могут находиться во взаимооднозначном соответствии с какой-либо правильной его частью. Он указывает на общий характер открытой еще Галилеем связи однозначного соответствия двух рядов чисел 1, 2, 3, 4…; 1, 4, 9, 16…, не замечаемой, по его словам, до сих пор математиками.

Существенным недостатком больцановского учения о бесконечности является неверное объяснение им отношения между математической бесконечностью и бесконечностью реального мира. Признание дуализма мира существующих вещей и неизменной сферы истин-в-себе исключало возможность единственно правильной точки зрения — признания того, что в понятиях математической бесконечности объективная, реальная бесконечность отражается лишь приблизительно, грубо. Поэтому Больцано нередко путает онтологическое с математическим, логическую возможность с действительностью. Это и явилось одной из причин того, что он не сумел четко отделить интенсиональное, содержательное рассмотрение бесконечности в математике от экстенсионального.

Учение о субстанциях, бесконечности связано у философа с проблемой пространства и времени, решение которой у него наиболее противоречиво. Концепция Больцано отличается от воззрений Лейбница и Канта. С первым он соглашается в том, что пространство и время являются формами отношений между вещами. Но в отличие от Лейбница он рассматривает пространство не как свойство представлений, а как свойство вещей. Больцано согласен с положением Лейбница о непротяженности субстанций, однако убежден, что вещи, составленные из субстанций, объективно имеют свойство протяженности. Здесь философ снова ссылается на то, что свойства целого несводимы к свойствам частей. «…Любому целому, — пишет он, — присущи, как известно, свойства, которых нет у его частей. Физическое протяжение, например, шара образуется из бесконечного множества простых субстанций точно таким же образом, как простое геометрическое протяжение возникает из бесконечного множества точек. Совокупность всех точек, которые сохраняют определенное расстояние от одной данной, составляет шар; и если в каждой из этих точек находится субстанция, то мы имеем перед собой физическое тело в форме шара» (13, 361–362). Такого же взгляда придерживался в принципе и Лейбниц. Математическим объектам — точкам соответствуют буквально такие же, но реально существующие метафизические точки — субстанции.

Учение Канта о пространстве и времени как априорных формах чувственности отвергается Больцано, но сам он создает не менее порочную теорию; в которой пространство и время рассматриваются как априорные категориальные формы. Защищая объективность пространственно-временных отношений, Больцано неожиданно утверждает, что свойство реальности, существования у пространства и времени отсутствует. Пространство и время, будучи определениями реального бытия, сами не реальны, не существуют. Они представляют собой то же самое, что и предложения-в-себе. Но истины- и предложения-в-себе не являются определениями существующих предметов. В концепции пространства и времени Больцано наиболее явно выступают все противоречия дуализма. Какие же мотивы заставили мыслителя отказаться от материалистической точки зрения на пространство и время? Сам он выдвигает несколько аргументов. Прежде всего Больцано не может согласиться с метафизическим пониманием пространства и времени как некоторых вместилищ, существующих отдельно от предметов и совокупностей субстанций. «…Совершенно пустого пространства не бывает», «…никакая часть пространства не бывает пустой», — пишет он (8, 114–115). Но Больцано не согласен и с тем, что время и пространство изменяются, как все реальные вещи (см. 21, 1, 363), ведь все изменения происходят в определенное время и в определенном пространстве. Таким образом, отвергая метафизическое представление о пустом пространстве, философ не может все же полностью отбросить его.

Признание бытия бога в мире также влияет на понимание Больцано проблемы пространства и времени. В научных записях философа мы находим следующее рассуждение: все точки времени и пространства равноправны. Некоторые, говорит он, пытаются из этого вывести существование бога, который, мол, определил нахождение мира именно в этом месте, а не в другом. Однако, говорит Больцано, если каждое место равноправно, основание не может лежать в боге, ведь в таком случае бог должен был бы действовать без всякого основания, т. е. по своему произволу. Но бог не действует по произволу (см. 12, 133–134). Ведь если пространство является не реальным, существующим местом или совокупностью мест, а лишь понятием, то произвол не может быть приписан богу. Все реальное разделяется на безусловно существующее и обусловленно существующее. Безусловно существует бог, все остальное обусловлено существованием бога. Но то, что обусловлено, подвержено изменениям и находится во взаимодействии со всем остальным существующим. Пространство и время не безусловны, в противном случае они были бы богом, но и не подвержены изменению, так как только в них происходит изменение. Следовательно, они не существуют, а являются понятиями. Такова аргументация мыслителя. Пытаясь провести строгое различие между существующим реальным миром и идеальными объектами логики, знания, он в сущности смешивает одно с другим. Реально существующие вещи, субстанции обладают качеством индивидуальности и изменчивости. Все точки пространства и мгновения времени лишены этих особенностей. Больцано говорит о них только как о математических объектах, не имеющих аналога в действительности, но служащих ее определением, необходимым условием причинно-следственных связей и взаимодействия субстанций. Однако неясно, как можно отделить пространство и время как объект исследования от пространства и времени как понятий, ведь и то и другое — понятия. Математик оперирует с точками, линиями, промежутками времени, не задумываясь над тем, являются ли они понятиями о пространстве и времени или самими пространством и временем. Больцано не может справиться с этой проблемой. Попытка соединить в учении о пространстве и времени реальное с идеальным приводит к противоречиям.

У Больцано мы находим одну из своеобразных теорий эволюции и прогресса мира. Основой для нее служит оптимистическая космология Лейбница. Вера в прогресс, в усовершенствование социального мира была характерна для большинства просветителей. В свою очередь эта вера оказывала значительное влияние на формирование учения о структуре и эволюции мира в целом. Больцано здесь не составляет исключения. Он много читал по вопросам истории общества, превосходно знал произведения просветителей XVIII столетия, был знаком с работами французских материалистов и социалистов-утопистов.

Лейбниц в «Монадологии» пишет, что эволюция монад заранее предначертана установленной гармонией и целью всевышнего. Больцано устраняет идею предустановленной гармонии из онтологического учения. Он опирается на закон взаимодействия субстанций и всеобщий детерминизм, что позволяет ему дать более реалистическое, чем у Лейбница, обоснование понятиям эволюции, прогресса и свободы. Атомистический, механистический материализм вступал в явное противоречие с самим собой при попытке оправдания и основания идеи прогресса. Всеобщий принцип изменения мира, его эволюции плохо согласовывался с понятием неизменной фундаментальной частицы материи — атома. Представление о неизменности законов механики, по которым происходит движение частиц материи, также убеждало в невозможности развития. Атомы, или субстанции, у Больцано являются конечными, неделимыми и вечными элементами мира, но они, как и монады у Лейбница, бесконечно изменчивы и бесконечно разнообразны. В субстанции неразрывно связываются качественная и количественная бесконечности. Лейбницева идея отражения в представлении единичной монады всей бесконечной вселенной Больцано кажется ложной. Отражение является результатом взаимодействия всех субстанций; субстанция же представляет и ощущает лишь то непосредственное окружение, в котором находится. Философ по-своему развивает концепцию отражения, используя для этого понятие следов. Взаимодействие субстанций оставляет в каждой некоторые следы, которые сохраняются навсегда. Это играет первостепенную роль в познавательной деятельности человека. Больцано проводит аналогию между душой как простой субстанцией и субстанциями всей природы, которые также имеют определенную степень представлений и ощущений. Представление как внутреннее свойство субстанций преходяще, но каждое оставляет в последних результаты своего пребывания в них в виде отпечатка, следа, что позволяет потом субстанциям воспроизводить эти представления. Из опыта мы знаем, что, чем большее число раз у нас возникает какое-либо представление, тем легче оно воспроизводится нами, тем оно отчетливее и живее, а следовательно, тем больше сила нашей способности представлений (см. 13, 264). Так, математик сравнительно легко понимает и воспроизводит представления, касающиеся отношений чисел, естествоиспытатель — представления природных процессов и т. д. Больцано ссылается на других философов, уже развивавших концепцию следов, и прежде всего на Лейбница, говорившего, что ни одно впечатление души не проходит бесследно (см. 21, 3, 53). Больцано не согласен с теми, кто, как Ш. Бонне, теорию памяти развивает на физиологической основе (см. там же, 54). Аргументация Больцано против такого по существу материалистического обоснования памяти и других процессов сознания довольно проста. Точка зрения, согласно которой представление оставляет следы исключительно в теле, следы, благодаря которым повышается способность к производству движений в целях получения этого представления в душе, — эта точка зрения ложна потому, что тогда мы должны были бы сказать: все навыки, обучение и прогресс основываются только на механизме тела, только тело обучается — душа остается той же самой (см. там же, 50). Больцано исходит из того, что душа и тело — отдельные сущности, а мозг не является органом мышления. Критикуя вульгарно-материалистическое понимание отношения души и тела, он защищает дуализм. Главным источником эволюции субстанций оказывается способность отражения, сохранения следов.