Радия сказал,"Что насчет тора? Вы можете сделать тор используя эвклидову геометрию?"

"Я не мог сначала. Но потом я нашел способ".

"Покажи мне"

Ятима убрал пятно и создал тор, в одну дельта шириной и четверть дельта высотой, с белой поверхностью, красной сеткой меридианов и синими кругами широты. Он нашел стандартный инструмент в библиотеке для обработки поверхности любого объекта, отмасштабировал тор, и добавил немного ему толщины, так что не было никакой необходимости, чтобы становиться 2-мерными. Вежливо предлагая адрес, куда Радия может последовать, Ятима прыгнул в пространство тора.

Они прибыли и стояли на внешнем ободе — "экваторе" тора — лицом к "югу." С лучами света, льнувшими к поверхности, пространство вокруг казалось безграничным, но все-же Ятима мог ясно видеть обратную сторону как аватары Радия так и свою собственную. Леса нигде не было видно; выше них не было ничего кроме черноты.

При взгляде прямо на юг, перспектива была почти линейной, с красными меридианами, завертывающимися вокруг тора, чтобы сойтись в исчезающей вдали точке. На восток и на запад синие линии широт казались почти прямыми и параллельными друг другу. Лучи света, путешествующие вокруг внешнего обода тора сходились, как будто сфокусированные увеличительным стеклом, в точке прямо напротив места, откуда они вышли — как сильно растянутое изображение одного крошечного пятна на экваторе, точно на полпути вокруг тора. Пройдя полпути синие линии вновь собрались вместе и выглядели чем-то вроде нормальной перспективы некоторое время, прежде чем прошли полный круг и эффект повторился снова. Но на этот раз вид был заблокирован широкой полосой пурпурной цвета с тонким ободком черного на верху, протягивающейся через горизонт: собственная иконка Ятимы исказилась кривизной. Зеленая и коричневая прожилки были также видимы, частично затемняя пурпурный и черный, когда Ятима смотрел непосредственно от Радия.

"Геометрия этого вложения, очевидно, не евклидова." Ятима набросал несколько треугольников на поверхности у их ног. " Сумма углов треугольника зависит от того где вы поместили его: более, чем 180 градусов здесь, около внешнего обода, но менее чем 180 около внутреннего обода. На половине расстояния, достигается баланс."

Радия кивнул. "Хорошо. Итак, как же вы сбалансируете сумму везде без изменения топологии?"

Ятима изменил пространство вокруг объекта и сам объект. Пространство на горизонте на востоке и западе начало сжиматься, а синие линии широты начали выпрямляться. На юге у узкой области кривизна быстро выросла. "Если вы изгибаете цилиндр в тор, то линии параллельные оси цилиндра растянутся в круги разного размера, вот где кривизна действительно проявляется. И если бы вы попытались сохранить все круги, так чтоб они были одинакового размера, невозможно было бы никоим образом удержать их друг от друга. Но это верно только в трех измерениях".

Линии сетки были полностью прямыми теперь, перспектива везде вполне линейная. Им казалось что он стоит на безграничной плоскости, и только повторяющиеся образы их аватар свидетельствовали об ином. Треугольники также выпрямились; Ятима сделал две идентичных копии одного из них, затем добавил третий и соединил их в виде лопасти вентилятора, которые показывали сумму углов до 180 градусов. "Топологически, ничего не изменилось, я не менял ничего не прикладывал и не присоединял к поверхности. Разница лишь в том, что…"

Он прыгнул назад на лесную поляну. Тор оказался превращенным в короткую цилиндрическую полосу; большие синие круги широты были все теперь равного размера — но меньшие красные круги, меридианы, выглядели так будто они были выровнены в прямые линии. "Я повернул каждые 90 градусов меридиана, в четвертое пространственное измерение. Они только выглядят плоскими поскольку мы видим их с ребра." Ятима повторил трюк с аналогом более низкого измерения: взяв полосу между парой концентрических кругов и скручивая ее на 90 градусов от плоскости, поставил ее на ребро; дополнительное измерение создавало место для всей полосы целиком, чтобы иметь однородный радиус. С тором было почти так же; каждый круг широты мог иметь тот же радиус до тех пор, пока они не получили другие "высоты" в четвертом измерении, чтобы держать их раздельно. Ятима изменил цвет всего тора в плавно изменяющиеся оттенки зеленого, чтобы показать скрытую четвертую координату. Внутренняя и внешняя поверхности "цилиндра" только соответствовали цветами верхним и нижним ободьям, — здесь они сошлись в четвертом измерении; в другом месте, другие оттенки с той или другой стороны показывали, что они остались разделенными.

Радия сказал: "Очень хорошо. Теперь можешь делать то же со сферой?"

Ятима скривился от досады. "Я пробовал! Интуитивно это кажется просто невозможным… но я бы сказал то же самое о торе, прежде чем нашел правильное решение. Он создал сферу, как и говорил, и деформировал ее в куб. Ничего хорошего однако не получилось — сфера просто свела всю свою кривизну в своеобразие углов, и все.

"Хорошо". Вот подсказка". Радия трансформировал куб обратно в сферу, и нарисовал три больших круга на ее черноте: по экватору, и два полных меридиана, отстоящих на 90 градусов друг от друга.

"Что же я разделил на поверхности?"

"Треугольники. Прямоугольные треугольники". Четыре в северном полушарии, 4 на южном.

"И все, что вы делаете с поверхностью — изгибаете, протягиваете, скручиваете ее в тысяче других измерениях — всегда ли вы будете способны разделить ее одним тем же способом, или нет? Восемью треугольниками, заключенными между шестью точками?"

Ятима экспериментировал, последовательно деформируя сферы в различные формы. "Я думаю, вы правы. Но как это поможет?"

Радия промолчал. Ятима сделал объект прозрачным, так что бы он мог видеть все треугольники сразу. Они сформировали вид грубой сетки, шестиконечной сети, закрытой авоськи из веревок. Он выпрямил все двенадцать линий, в которые несомненно выравнивались треугольники — но это превратило сферу в алмаз в форме октаэдра, что было также плохо как куб. Каждая плоскость алмаза была вполне эвклидовой, но шесть острых точек были похожи на бесконечно сконцентрированные хранилища кривизны

Он попытался сгладить и выровнять шесть точек. Это было легко — но это сделало восемь треугольников такими же изогнутыми и неэвклидовыми какими они были на оригинальной сфере. Казалось "очевидным", что точки и треугольники невозможно никогда сделать плоскими одновременно, но Ятима все еще не мог понять причину почему эти две цели были невыполнимыми одновременно. Он измерил углы там, где четыре треугольника встречались: 90, 90, 90, 90. Это имело полный смысл:, чтобы лежать плоско и стыковаться хорошо без каких-либо промежутков, они должны дополнять друг друга до 360 градусов. Он вернулся к алмазу, и измерил те же углы снова: 60, 60, 60, 60. В общей сложности 240, и это было слишком мало, чтобы лежать в плоскости; нечто меньшее чем полный оборот заставляет поверхность свернуться подобно точке конуса…

Вот именно! Это было сердцем противоречия! Каждая вершина нуждается в углах, составляющие 360 градусов вокруг нее, для того, чтобы лежать плоско… тогда как каждая плоскость, эвклидовый треугольник поставлял только 180 градусов. Вдвое меньше. Так что если там было бы ровно в два раза больше треугольников в качестве вершин, все бы прекрасно складывалось — но с шестью гранями и только восемью треугольниками, там было недостаточно плоскостей, чтобы завершить оборот.

Ятима усмехнулся торжественно, и рассказал цепочку рассуждений. Радия спокойно сказал: "Хорошо. Вы только что открыли теорему Гаусса, связывающую число Эйлера и общую кривизну".

"Неужели?" Ятима почувствовал прилив гордости; Эйлер и Гаусс были легендами давно умерших флешеров, но их уровня редко кто достигал.