В 529 году Юстиниан, римский император и христианин, закрыл языческие философские школы, включая Академию в Афинах. Так подошла к концу тысячелетняя история греческой математики. Многие ученые покинули страну и двинулись на Восток, в более интеллектуально развитую Персидскую империю. За двести лет до этого Константин Великий сделал христианство официальной религией римского мира и переместил административный центр из Рима в Византий, который он переименовал в Новый Рим, Константинополь. Карл Великий, император Священной Римской империи (742/747 или 748–814), впервые объединил в своих руках духовную и светскую власть. В то время Константинополь входил в состав зарождающейся исламской империи, а Багдад был научной столицей известного мира того времени. Как правитель западноевропейской империи, Карл Великий был обеспокоен интеллектуальной неполноценностью христианского мира и стимулировал проведение образовательных реформ, опиравшихся на соборные школы. Отвечал за эти реформы ученый и поэт Алкуин Йоркский (735–804), глава придворной школы Карла Великого в Ахене. Алкуин также разработал каролингское строчное письмо, легшее в основу современных латинских прописных букв. После смерти Карла Великого три его сына перессорились и снова разделили Европу на части. Образование не входило в список их важнейших интересов, но в соборных школах и монастырях все же бился скудный огонек научных знаний.

Список научных дисциплин состоял из семи гуманитарных наук. Учебный план их изучения был расписан еще в римские времена. Список был разделен на «тривиум» — грамматика, риторика и логика, и «квадривиум» — геометрия, арифметика, астрономия и музыка. Можно предположить, что математика была ключевой частью учебного плана, но в действительности уровень знаний был очень низким. Боэций (Аниций Манлий Торкват Северин Боэций) (ок. 480–524) — вероятно, лучший математик римского мира — определил то, что должно было стать стандартными текстами для каждой ветви квадривиума. Его трактат «Наставление в арифметике» был просто сокращенной копией «Введения в арифметику» — последней работы известного неопифагорейца Никомаха Герасского (ок. 60 — ок. 120). «Наставление в геометрии» базировалось на первых четырех книгах Евклида (причем доказательства были исключены). «Наставление в астрономии» представляло собой сильно сокращенную версию «Альмагеста» Птолемея, а «Наставление в музыке» — сборник греческих источников. Казалось, эта программа была разработана для того, чтобы соответствовать минимальным стандартам, а не создать трамплин для движения к новым открытиям. Математика использовалась, главным образом, для того, чтобы обслуживать календарь и вычислять дату Пасхи — обе задачи требовали астрономических знаний. Научная мысль Западной Европы начала возрождаться благодаря проникновению идей через границу между христианским и исламским мирами.

Вдохновленные пророком Мухаммадом и учением Корана, арабы выплеснулись за пределы своего полуострова, стремясь завоевать Персидскую и Восточную Римскую империи. Границы с Западной Европой шли от южной Испании и Сицилии до восточных регионов. Именно в Испании, особенно в городе Толедо, шел интенсивный интеллектуальный диалог между двумя культурами, которые в то же время находились практически в бесконечном конфликте друг с другом. Почти чудо, что удалось достичь такого климата научной терпимости в период, включавший два столетия крестовых походов. Прежде чем в восьмом веке нашей эры арабские войска захватили Толедо, город был столицей вестготов. В конце одиннадцатого века христианские армии отбили Толедо. Кордова стала столицей иберийского арабского государства, и его правители — Омейяды — планировали превзойти управляемый Аббасидами Багдад по блеску и учености. Гранада, столица султаната Насридов, последний оплот ислама на Иберийском полуострове, просуществовала как таковая до 1492 года, когда насридский правитель Мохаммед XII капитулировал перед испанцами и передал город королеве Изабелле Кастильской и королю Фердинанду II Арагонскому, после чего мусульмане и евреи были изгнаны из католической Испании. Однако за предшествовавшие века этот западный форпост арабской империи добился многого и, уж во всяком случае, сравнялся с Багдадом как пристанище искусств и наук. Христианские, мусульманские и еврейские ученые тесно сотрудничали здесь, стремясь свести воедино все наиболее важные научные работы на всех основных языках того времени. Тексты работ переводились с языка на язык, а основными языками науки того времени были арабский, латынь, греческий, еврейский и кастильский. Для Европы то был важнейший период: повторно открывалась утерянная греческая математика, впервые прочитывались оригинальные арабские и индийские математические труды. Космополитический характер Толедо XI–XII веков можно понять, перечислив имена некоторых ведущих ученых того времени: Роберт Честерский, Майкл Скот, Герман Каринтийский, Платон Тиволийский, Евгений Палермский, Рудольф из Брюгге, Иоанн Севильский, Герард Кремонский, Аделард Батский.

Аделард Батский (ок. 1080 — ок. 1160) — вероятно, самый известный переводчик, который тем не менее отсутствует на «доске почета» толедских переводчиков. Считается, что он выучил арабский язык на Сицилии, где столетием раньше власть перешла от арабов к норманнам, однако сохранился дух исламской науки. В 1126 году Аделард перевел с арабского языка на латынь астрономические таблицы ал-Хорезми, а в 1142 году — «Начала» Евклида. Приблизительно в 1155 году он перевел «Альмагест» Птолемея с греческого на латынь. О жизни Аделарда известно очень немного, за исключением того, что он много путешествовал по Франции, Италии и Турции.

Возможно, самым блестящим переводчиком был Герард Кремонский (1114–1187), которому приписывается выполнение более чем 85 переводов. Первоначально он пришел в Толедо, чтобы изучить арабский язык, — Герард хотел прочитать «Альмагест» Птолемея, перевода которого на латынь в то время не существовало. Герард так и остался в Толедо до конца жизни, переводя работы по математике, естественным наукам и медицине. Помимо прочего, он перевел переработанную арабскую версию «Начал» Евклида, выполненную астрономом, математиком и врачом Сабитом ибн Коррой (836–901), усовершенствовав более раннюю работу Аделарда. Первый перевод «Книги о восполнении и противопоставлении» ал-Хорезми был сделан в 1145 году Робертом из Честера. Именно в это время в европейский словарь вошли многие слова, ставшие ныне привычными, часто в результате недопонимания или неправильной транслитерации. Такие слова, как «алгоритм» и «алгебра», были искажением имени ал-Хорезми и слова «ал-джабр» из названия его труда «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала». В полном арабском названии термин «ал-джабр» означает «завершение» и относится к методу удаления отрицательных элементов из уравнения. В тот же период в обиход вошли и другие арабские слова, такие, как «надир», «зенит», «зеро» («ноль») и «цифра».