Вскоре после этого переводы вдохновили людей на поиски новых знаний. Ранние доктрины Церкви впитали в себя значительную дозу платоновской философии, тем не менее в 529 году, спустя девятьсот лет после основания платоновской Академии в Афинах, император Юстиниан закрыл ее из страха распространения языческих воззрений. Приблизительно в то же время логика Аристотеля была бережно сохранена в «тривиуме» Боэция. Учения Платона и Аристотеля были, хотя и по-разному, тесно переплетены с христианским богословием. В результате критическая переоценка греческой науки и философии считалась в некоторых регионах атакой на власть самой Церкви. Аристотель писал работы на самые разные научные темы, включая механику, оптику и биологию. К сожалению, несмотря на то, что он делал особый акцент на наблюдения, многие из его теорий противоречили реальному опыту. Платон же весьма немного писал на темы науки и часто весьма презрительно относился к ее практическим аспектам, однако именно он подчеркивал примат математики при описании Вселенной. Согласно Аристотелю, математика должна была быть подчинена физике. Ситуация еще более усложнялась наличием переводов арабских и греческих работ, которые противоречили друг другу. Выдающимися научными центрами в то время были Париж и Оксфорд, и мы уделим особое внимание движению, известному как Оксфордская школа. Эта школа прежде всего связана с научной деятельностью членов Мертонского колледжа при Оксфордском университете. В возникающем научном подходе математика играла центральную роль.

Начало этой новой философии рационального познания положил Роберт Гроссетест (ок. 1175–1253). Он получил образование в Мертонском колледже, с 1215 по 1221 год был канцлером Оксфордского университета, с 1224 по 1232 год — первым ректором оксфордского францисканского колледжа, а затем стал епископом Линкольна — епархии, к которой относится Оксфорд. Сама по себе математика в значительной степени теологически нейтральна, но сочетание математики и физики бросило серьезный вызов общепринятым космологическим доктринам того времени. Это отлично иллюстрирует средневековая оптика. Гроссетест демонстрирует некоторую симпатию к идеям неоплатонизма, вследствие важности, которую он приписывает свету как основе всей Вселенной. Он создал космологическую теорию, напоминающую нашу концепцию Большого взрыва, согласно которой Вселенная началась как вспышка света и, расширяясь, уплотнилась до материи. В основном Гроссетест был последователем таких арабских авторов, как, например, Ибн ал-Хайсам (965–1039, возможно, более известна латинизированная версия его имени — Альхазен), и отдавал предпочтение грекам — главным образом, конечно, Аристотелю. Он утверждал, что свет — это пульсация материи, распространяющаяся в воздухе по прямой линии подобно тому, как распространяется звук. И свет, и звук двигаются с постоянной скоростью, но ясно, что свет движется быстрее. Гроссетест экспериментировал с линзами и описал их использование для увеличения предметов. Арабы делали линзы в одиннадцатом веке, а в тринадцатом веке в северной Италии уже умели изготовлять очки, хотя и не очень хорошего качества. Гроссетест считал, что радуга создается облаком, работающим как линза, поскольку свет дважды преломляется, входя в облако и выходя из него, — в отличие от Аристотеля, который полагал, что радуга возникает за счет отражения света от капелек воды. Самый знаменитый ученик Гроссетеста — Роджер Бэкон (ок. 1214 — после 1294) — пошел еще дальше. Он изучал видимый центр радуги, ее диаметр и пространственные отношения с Солнцем и наблюдателем. Более того, Бэкон считал, что радуга создается за счет внутреннего преломления в каждой капельке воды, а не во всем облаке. В трудах Бэкона, который в свое время был известен как «удивительный доктор» (doctor mirabilis), рассматривается широкий спектр математических и естественно-научных вопросов. Его рассуждения о подводных лодках и самолетах можно сравнить со значительно более поздними трудами Леонардо да Винчи (1452–1519). В конце тринадцатого века немецкий монах Теодорих (Дитрих, Тьерри) Фрейбургский (ок. 1250 — ок. 1310) экспериментировал со сферическими стеклянными флягами, заполненными водой, и хрустальными шарами, пытаясь смоделировать капли воды. Его наблюдения привели к теории внутреннего преломления света и расщепления света на цветные лучи внутри капли воды или в стекле. Сейчас эта теория обычно приписывается Рене Декарту, но мы можем видеть, что за триста лет до Декарта ученые Средневековья достигли огромных успехов в оптике.

В некоторых регионах звезда Аристотеля начала гаснуть. Роджер Бэкон писал: «Если бы я имел власть, то сжег бы все работы Аристотеля». Он видел в них тормоз на пути прогресса из-за чрезмерной самоуверенности Аристотеля, предпочтения философских догм наблюдению и опыту. Его откровенные и решительные идеи привели его в тюрьму, что в ту эпоху нередко происходило и с другими интеллектуалами. Уильям Оккам (ок. 1285–1349) продолжал нападать на Аристотеля, утверждая, что богословие и натурфилософия должны быть отделены друг от друга, поскольку первая имеет дело со знанием, полученным в результате откровения, а вторая — на основании опыта. То, что теперь известно как «бритва Оккама», было уже заявлено Гроссетестом — это философия, согласно которой в науке нужно искать самое простое решение, соответствующее фактам. Богословие и схоластическая философия стремились объяснить физическую действительность посредством дедуктивной системы, основанной на чистых предположениях. Средневековые ученые искали индуктивный переход от экспериментальных данных к физической гипотезе, который, будучи выраженным на языке математики, позволил бы вывести следствия, поддающиеся проверке. Можно увидеть, что эти средневековые ученые предпринимали колоссальные усилия, чтобы создать реальную эмпирическую философию.

Уильям из Оккама умер преждевременно в 1349 году от чумы — Черной смерти, которая неистовствовала по всей Европе. Неясно, чума была виновата в угасании математики и естественных наук, или их погубило убеждение церковников, что эта напасть была наказанием за непокорство и свободный дух. Какой бы ни была причина случившегося, но средневековая наука была пресечена в корне, и потребовалось еще двести лет, прежде чем она снова смогла расцвести.

Очень много писалось об итальянском Ренессансе как о периоде, определившем направление европейского сознания. Пробуждение интереса к классическим наукам соединилось с желанием выйти за пределы простого подражания и изучить новые стили, новые идеи и новые направления исследования. Этот новый путь отлично иллюстрирует взаимодействие между искусством и геометрией, и, в частности, использование перспективы. Натурализм Ренессанса был заметен в искусстве еще до того, как исследование перспективы принесло свои плоды, но перспектива усилила реалистичность изображения, формально включив точку зрения зрителя в ткань живописи. Перспектива была также очень важна для архитекторов. Возрождение классического стиля в архитектуре в значительной степени основывалось на трактате римского архитектора и инженера Марка Витрувия Поллиона (ок. 80/70 до н. э. — после 15 н. э.) «Десять книг об архитектуре» и возобновившемся интересе к изучению оставшихся классических зданий. Одними из первых авторов, писавших о перспективе, были великий итальянский архитектор Филиппо Брунеллески (1377–1446) и итальянский же ученый Леон Баттиста Альберти (1404–1472), которые соединили практическую математику каменщиков и архитекторов с геометрическими построениями, однако считается, что первым трудом, посвященным вопросам перспективы и предназначенным для живописцев, был математический трактат «О перспективе в живописи» итальянского художника и теоретика Пьеро делла Франчески (ок. 1415–1492).

Пьеро делла Франческа был сыном торговца из Борго-Сан-Сеполькро, городка под Флоренцией, и, вероятно, чтобы занять место в семейном бизнесе, изучал математику в одной из многочисленных школ практической математики, которые возникали в Италии в то время. Он выказал большой талант и, возможно, стал бы математиком, специализирующимся на задачах из области торговли, но вместо этого решил пойти в обучение к местному художнику. Уникальная комбинация его навыков сделала Пьеро одним из немногих людей, упоминающихся одновременно в анналах как искусства, так и математики. Скорее всего, он провел некоторое, очень короткое время во Флоренции, и большинство его известных работ находили в небольших городках вроде Урбино. До нас дошли только три его трактата, причем не известны ни точные даты их написания, ни их оригинальные названия. Прежде чем мы обратимся к его работе о вопросах перспективы, стоит упомянуть одно новшество в геометрии. Считается, что Пьеро вновь открыл пять из архимедовых тел, которые называются так потому, что в четвертом веке нашей эры математик Папп Александрийский (ок. 290 — ок. 350) приписал их открытие Архимеду. В работе Иоганна Кеплера 1619 года приводятся тринадцать архимедовых тел — в это число входят и пять Платоновых тел. Пять архимедовых тел строятся путем усечения ребер Платоновых тел. До Пьеро эти фигуры описывались риторически — просто заявлялось об использовании необходимых многоугольников, — но Пьеро описывает их построение и изображает его. Не все фигуры изображались с правильной перспективой, однако это был огромный шаг вперед в то время, когда в работах по практической геометрии фигуры нередко иллюстрировались схематично, например, конус изображался как треугольник, стоящий поверх круга. Работа Пьеро была использована в трактате итальянского математика Луки Пачоли (1445–1517) «О божественной пропорции», изданном в Венеции в 1508 году. В трактат были включены иллюстрации друга Пачоли — Леонардо да Винчи — и рисунок шестого архимедова тела — ромбокубоктаэдра.