Мне выпало счастье провести последние двадцать лет в Гарварде, который является идеальной средой для общения как с математиками, так и с физиками. Работая здесь, беседуя со своими коллегами‑математиками, я испытал множество озарений. Спасибо за это Джозефу Бернштейну, Ноаму Элкису (Noam Elkies), Денису Гейтсгори (Dennis Gaitsgory), Дику Гроссу (Dick Gross), Джо Харрису (Joe Harris), Хейсуке Хиронака (Heisuke Hironaka), Артуру Яффе (который занимается и физикой тоже), Дэвиду Каздану (David Kazdhan), Питеру Кронхаймеру (Peter Kronheimer), Барри Мазуру (Barry Mazur), Кертису Макмуллену (Curtis McMullen), Дэвиду Мамфорду (David Mumford), Уилфреду Шмиду (Wilfried Schmid), Ям‑Тонг Сью (Yum‑Tong Siu), Шломо Штернбергу (Shlomo Sternberg), Джону Тейту (John Tate), Клифу Таубсу (Cliff Taubes), Ричарду Тейлору (Richard Taylor), X. Т. Яу (Н. Т. Yau) и ныне покойным Раулю Ботту (Raoul Bott) и Джорджу Маккею (George Mackey). И все это было на фоне запоминающегося обмена мнениями с коллегами‑математиками из Массачусетского технологического института. О физике же я вел бесчисленные полезные беседы с Энди Строминджером (Andy Strominger) и Кумруном Вафой (Cumrun Vafa).
За последние десять лет я дважды приглашался Эйленбергом преподавать в Колумбийский университет, где плодотворно общался с другими преподавателями, в частности с Дорианом Голдфельдом (Dorian Goldfeld), Ричардом Гамильтоном (Richard Hamilton), Двонг Хонг Фонгом (Duong Hong Phong) и С. В. Жангом (S. W. Zhang). Преподавал я и в Калифорнийском технологическом институте по приглашению Фейрчайлда и Мурса. Там я многому научился от Кипа Торна (Kip Thorne) и Джона Шварца (John Schwarz).
За последние двадцать три года мои исследования, связанные с физикой, получали поддержку от правительства США через Национальный научный фонд, Министерство энергетики и Управление научных исследований Пентагона. Большинство моих учеников получили докторские степени по физике, что для математиков несколько необычно. Но это было взаимовыгодное сотрудничество, так как они учились у меня математике, а я у них – физике. Я счастлив, что многие из этих моих учеников, имеющих образование в области физики, стали выдающимися профессорами математических факультетов в университете Брендейса, в Колумбийском университете, в Северо‑Западном университете, в Оксфорде, в Токийском университете и других учебных заведениях. Некоторые из них работали над многообразиями Калаби‑Яу и помогли мне с написанием этой книги. В их числе Мбоё Эсол (Mboyo Esole), Брайан Грин (Brian Greene), Гари Горовиц (Gary Horowitz), Шинобу Хосоно (Shinobu Hosono), Тристан Хабш (Tristan Hubsch), Альбрехт Клемм (Albrecht Klemm), Бонг Лиан (Bong Lian), Джеймс Спаркс (James Sparks), Ли‑Шенг Ценг (Li‑Sheng Tseng), Сатоши Ямагучи (Satoshi Yamaguchi) и Эрик Заслоу (Eric Zaslow). Ну и, наконец, мои бывшие аспиранты – Юн Ли (Jun Li), Кефенг Лью (Kefeng Liu), Мелисса Лью (Melissa Liu), Драгон Ванг (Dragon Wang) и Му‑Тао Ванг (Mu‑Tao Wang) – также внесли свой неоценимый вклад в мои исследования. О них я еще буду упоминать на страницах своей книги.
Шинтан Яу, Кембридж, Массачусетс, март 2010
Если бы не Генри Тай, физик из Корнеллского университета (и друг Яу), который предположил, что соавторство может навести меня на интересные идеи, я, вероятно, никогда не узнал бы об этом проекте.
В этом отношении, как и во многих других, Генри оказался прав. И я благодарен ему как за начало моего неожиданного путешествия, так и за помощь во время него.
Как часто говорил Яу, отважившись на математическое путешествие, никогда не знаешь заранее, чем оно закончится. То же самое можно сказать про конец книги, над которой ты работаешь. Во время нашей первой встречи мы согласились, что нам нужно написать совместную книгу, но понимание, о чем же будет эта книга, пришло только некоторое время спустя. Можно даже сказать, что у нас отсутствовал четкий ответ на данный вопрос, пока книга не была закончена.
Теперь, чтобы исключить всякую путаницу, скажу несколько слов о продукте нашего сотрудничества. Моим соавтором является математик, работа которого, собственно, и легла в основу книги. Главы, в создании которых он принимал активное участие, написаны, как правило, от первого лица. И местоимение «я» относится к нему и только к нему. Но, несмотря на то что эта книга является его рассказом о себе, это вовсе не автобиография и не биография Яу. Часть обсуждений связана с людьми, с которыми Яу не знаком (некоторые из них умерли до его рождения), а некоторые из описанных тем – например, экспериментальная физика и космология – выходят за пределы его области знаний. Такие разделы написаны от третьего лица и основаны на различных интервью и других проведенных мной исследованиях.
Без сомнения, эта книга представляет собой необычную смесь различной информации и точек зрения. Именно так, с нашей точки зрения, было продуктивнее всего преподнести информацию, которой нам хотелось поделиться. Изложение всего этого на бумаге во многом зависело от потрясающего знания математики моим соавтором и, надеюсь, от моего умения работать со словом.
На вопрос, можно ли рассматривать эту книгу как автобиографию, следует ответить так: хотя книга, без сомнения, построена вокруг работы Яу, предполагается, что главную роль будет играть не он сам, а класс геометрических фигур – так называемое многообразие Калаби‑Яу, – который он помог придумать.
Вообще говоря, эта книга представляет собой попытку понять Вселенную посредством геометрии. Примером может служить общая теория относительности – имевшая потрясающий успех в прошлом веке попытка описания силы тяжести на основе геометрии. Еще дальше идет теория струн, в которой геометрия занимает центральное место в виде шестимерных фигур Калаби‑Яу. В книге рассматриваются идеи из геометрии и физики, необходимые, чтобы понять, как появились многообразия Калаби‑Яу и почему многие физики и математики придают им такое значение. Мы попытались рассмотреть эти многообразия с разных сторон – их функциональные особенности; расчеты, которые привели к их открытию; причины, по которым их находят привлекательными специалисты, занимающиеся теорией струн; а также вопрос, не являются ли эти фигуры ключом к познанию нашей Вселенной (а возможно, и к другим вселенным тоже).
Примерно так можно описать предназначение данной книги. Можно дискутировать на тему, насколько нам удалось реализовать наши замыслы. Но, без сомнения, ничего не получилось бы без технической, редакторской и эмоциональной поддержки многих людей. Их было слишком много, чтобы перечислять всех, но я постараюсь это сделать.
Неизмеримую помощь я получил от лиц, уже упомянутых моим соавтором. Это Эудженио Калаби (Eugenio Calabi), Саймон Дональдсон (Simon Donaldson), Брайан Грин (Brian Greene), Тристан Хабш (Tristan Hubsch), Эндрю Строминджер (Andrew Strominger), Кумрун Вафа (Cumrun Vafa), Эдвард Виттен (Edward Witten), а особенно Роберт Грин (Robert Greene), Бонг Лиан (Bong Lian) и Ли‑Шенг Ценг (Li‑Sheng Tseng). Именно последние трое по мере написания книги предоставляли мне математические консультации, сочетая искусство доходчиво объяснять с поразительным терпением. В частности, именно Роберт Грин, несмотря на свою занятость, встречался со мной два раза в неделю, чтобы разъяснить особенности дифференциальной геометрии. Без его помощи я бесчисленное количество раз попадал бы в крайне затруднительное положение. Лиан помог мне вникнуть в геометрию, а Ценг вносил последние бесценные правки в нашу все время эволюционирующую рукопись.
Физики Алан Адамс (Allan Adams), Крис Бислей (Chris Beasley), Шамит Качру (Shamit Kachru), Лиам Макаллистер (Liam McAllister) и Барт Оврут (Burt Ovrut) день и ночь отвечали на мои вопросы, позволив избежать множества неудач. Не могу не упомянуть и прочих, кто щедро делился со мной своим временем. Это Пол Эспинволл (Paul Aspinwall), Мелани Беккер (Melanie Becker), Лидия Бьери (Lydia Bieri), Фолькер Браун (Volker Braun), Дэвид Кокс (David Сох), Фредерик Денеф (Frederik Denef), Роберт Дикграаф (Robbert Dijkgraaf), Рон Донаги (Ron Donagi), Майк Дуглас (Mike Douglas), Стив Гиддингс (Steve Giddings), Марк Гросс (Mark Gross), Артур Хебекер (Arthur Hebecker), Петр Хорава (Petr Horava), Мэтт Клебан (Matt Kleban), Игорь Клебанов (Igor Klebanov), Албион Лоуренс (Albion Lawrence), Андрей Линде (Andrei Linde), Хуан Малдасена (Juan Maldacena), Дэйв Моррисон (Dave Morrison), Любос Мотл (Lubos Motl), Хироши Огури (Hirosi Ooguri), Тони Пантев (Tony Pantev), Ронен Плессер (Ronen Plesser), Джо Полчинский (Joe Polchinski), Гэри Шуй (Gary Shui), Аарон Симонс (Aaron Simons), Раман Сандрам (Raman Sundrum), Уэти Тейлор (Wati Taylor), Брет Ундервуд (Bret Underwood), Дин Янг (Deane Yang) и Хи Ин (Xi Yin).