Это только самая верхушка айсберга. Также мне помогали Эрик Аделбергер (Eric Adelberger), Салем Али (Salem Ali), Брюс Аллен (Bruce Allen), Нима Аркани‑Хамед (Nima Arkani‑Hamed), Майкл Атия (Michael Atiyah), Джон Баез (John Baez), Томас Банхоф (Thomas Banchoff), Кэтрин Бекер (Katrin Becker), Джордж Бергман (George Bergman), Винсент Бушар (Vincent Bouchard), Филипп Канделас (Philip Candelas), Джон Коатс (John Coates), Андреа Кросс (Andrea Cross), Лэнс Диксон (Lance Dixon), Дэвид Дарлах (David Durlach), Дирк Феруз (Dirk Ferus), Феликс Финстер (Felix Finster), Дан Фрид (Dan Freed), Бен Фрайфогель (Ben Freivogel), Эндрю Фрей (Andrew Frey), Андреас Гатман (Andreas Gathmann), Дорон Гепнер (Doron Gepner), Роберт Герох (Robert Geroch), Сюзан Гильберт (Susan Gilbert), Кэмерон Гордон (Cameron Gordon), Майкл Грин (Michael Green), Артур Гринспун (Arthur Greenspoon), Маркус Грисару (Marcus Grisaru), Дик Гросс (Dick Gross), Моника Гика (Monica Guica), Сергей Жуков (Sergei Gukov), Алан Гут (Alan Guth), Роберт С. Харрис (Robert S. Harris), Мэтт Хедрик (Matt Headrick), Джонатан Хекман (Jonathan Heckman), Дан Хупер (Dan Hooper), Гари Горовиц (Gary Horowitz), Станислав Янечко (Stanislaw Janeczko), Лизхен Джи (Lizhen Ji), Шелдон Кац (Sheldon Katz), Стив Клейман (Steve Kleiman), Макс Кройзер (Max Kreuzer), Петер Кронхаймер (Peter Kronheimer), Мэри Левин (Mary Levin), Эрвин Лютвак (Erwin Lutwak), Джо Ликкен (Joe Lykken), Барри Мазур (Barry Mazur), Вильям Маккаллум (William McCallum), Джон Макгриви (John McGreevy), Стивен Миллер (Stephen Miller), Клифф Мур (Cliff Moore), Стив Нан (Steve Nahn), Гейл Оскин (Gail Oskin), Рахул Пандхарипанд (Rahul Pandharipande), Хоакин Перес (Joaquin Pйrez), Рождер Пенроуз (Roger Penrose), Майлс Рейд (Miles Reid), Николай Решетихин (Nicolai Reshetikhin), Кирилл Сарайкин (Kirill Saraikin), Карен Шеффнер (Karen Schaffner), Майкл Шульц (Michael Schulz), Джон Шварц (John Schwarz), Ашок Сен (Ashoke Sen), Крис Сниббе (Kris Snibbe), Пол Шеллард (Paul Shellard), Ева Сильверштейн (Eva Silverstein), Джоэль Смоллер (Joel Smoller), Стив Строгац (Steve Strogatz), Леонард Зюскинд (Leonard Susskind), Ян Сойбельман (Yan Soibelman), Эрик Свенсон (Erik Swanson), Макс Тегмарк (Max Tegmark), Рави Вакил (Ravi Vakil), Фернандо Родригес Виллегас (Fernando Rodriguez Villegas), Дуайт Винсент (Dwight Vincent), Дэн Уолдрем (Dan Waldram), Девин Уолкер (Devin Walker), Брайан Вехт (Brian Wecht), Тоби Уисмен (Toby Wiseman), Джеф By (Jeff Wu), Чжэньнин Янг (Chen Ning Yang), Дональд Зейл (Donald Zeyl) и другие.
Проиллюстрировать многие понятия из данной книги сложно, но, к счастью, эта проблема была решена с помощью Хьяотиан (Тима) Ин (Xiaotian (Tim) Yin) и Хьанфенга (Дэвида) Гу (Xianfeng (David) Gu) с кафедры вычислительной техники университета в Стони Брук, которым в свою очередь помогали Хуянг Ли (Huayong Li) и Вей Зенг (Wei Zeng). Также помощь в создании иллюстраций была оказана Эндрю Хэнсоном (Andrew Hanson) (основным визуализатором многообразия Калаби‑Яу), Джоном Опреа (John Оргеа) и Ричардом Палейсом (Richard Palais).
Я хотел бы также поблагодарить своих друзей и родных, в том числе Вилла Бланшара (Will Blanchard), Джона ДеЛэнси (John DeLancey), Росса Итмана (Ross Eatman), Эвана Хадингама (Evan Hadingham), Харриса Маккартера (Harris McCarter) и Джона Тиббеттса (John Tibbetts), которые читали черновики книги и помогали своими советами и поддержкой. За бесценную помощь в решении организационных вопросов мы с моим соавтором хотели бы сказать спасибо Морин Армстронг (Maureen Armstrong), Лили Чану (Lily Chan), Хао Ху (Нао Хи) и Джене Бёрсан (Gena Bursan).
В тексте данной книги присутствуют ссылки на материалы из других изданий. Это, в частности, «Элегантная вселенная» Брайана Грина, «Окно Евклида» Леонарда Млодвинова и не переведенные пока на русский язык книги Роберта Оссермана «Poetry of the Universe» и «The Cosmic Landscape» Леонарда Зюскинда.
Наша книга никогда бы не увидела своего читателя, если бы не помощь Джона Брокмана (John Brockman), Катинки Мэтсон (Katinka Matson), Майкла Хэлей (Michael Healey), Макса Брокмана (Max Brockman), Рассела Вайнбергера (Russell Weinberger) и других сотрудников литературного агентства Brockman, Inc. Т. Дж. Келлехер (Т. J. Kelleher) из издательства «Basic Books» поверил в нас и в нашу книгу, и с помощью его коллеги Уитни Кассер (Whitney Casser) издание обрело респектабельный вид. Кей Мариэя (Kay Mariea), выпускающий редактор «Basic Books», наблюдала за всеми стадиями издания книги, а Патрисия Бойд (Patricia Boyd) выполнила литературную редактуру. Именно от нее я узнал, что «the same» ничем не отличается от «exactly the same».
Ну и напоследок я хотел бы особо поблагодарить членов моей семьи – Мелиссу, Джульетту и Паулину, а также моих родителей Лорейна и Марти, моего брата Фреда и сестру Сью. Все они вели себя так, как будто шестимерные многообразия Калаби‑Яу – это самое восхитительное, что существует в нашем мире, и даже не подозревали, что эти многообразия находятся за его пределами.
Стив Надис, Кембридж, Массачусетс, март 2010
Вступление Формы грядущего
Бог – это геометр.
Платон
Примерно в 360 году до нашей эры Платон написал трактат «Тимей» – историю творения, изложенную в виде диалога между его учителем Сократом и тремя другими участниками: Тимеем, Критием, Гермократом. Тимей – это выдуманный персонаж, пришедший в Афины из южного итальянского города Локри, «знаток астрономии, сделавший ее своим главным делом, чтобы познать природу Вселенной»[1]. В уста Тимея Платон вкладывает свою собственную теорию, центральная роль в которой отведена геометрии.
Платон был очарован группой выпуклых фигур, особым классом многогранников, которые получили название Платоновых тел. Грани каждого такого тела состоят из одинаковых правильных многоугольников. К примеру, у тетраэдра четыре правильные треугольные грани. Гексаэдр, или куб, составлен из шести квадратов. Октаэдр состоит из восьми равносторонних треугольников, додекаэдр – из двенадцати пятиугольников, а икосаэдр – из двенадцати[2] треугольников.
Трехмерные фигуры, носящие название Платоновых тел, изобрел не Платон. Честно говоря, имя их изобретателя неизвестно. Принято считать, что современник Платона Теэтет Афинский доказал существование пяти и только пяти регулярных многогранников. Эвклид в своих «Началах» дал полное математическое описание этих форм.
Рис. 0.1. Пять Платоновых тел: тетраэдр, гексаэдр (или куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Приставка указывает на количество граней – четыре, шесть, восемь, двенадцать и двадцать соответственно. От всех прочих многогранников их отличает конгруэнтность всех граней, ребер и углов (между двумя ребрами)
Платоновы тела имеют несколько интересных свойств, некоторые из них эквивалентны способам их описания. В каждом таком многограннике в одной вершине сходится одно и то же количество ребер. И вокруг многогранника можно описать сферу, которой будет касаться каждая вершина, – в общем случае такое поведение не характерно для многогранников. Более того, углы, под которыми сходятся ребра в каждой из вершин, всегда одинаковы. Сумма количества вершин и количества граней равна количеству ребер плюс два.
Платон придавал этим телам метафизическое значение, именно поэтому с ними оказалось связано его имя. Более того, выпуклые правильные многогранники, как описывается в «Тимее», составляют суть космологии. В философии Платона существуют четыре основных элемента: земля, воздух, огонь и вода. Если бы мы могли детально исследовать каждый из этих элементов, мы бы заметили, что они состоят из миниатюрных копий Платоновых тел. Земля, таким образом, будет состоять из крошечных кубов, воздух – из октаэдров, огонь – из тетраэдров, а вода – из икосаэдров. «Остается еще одна, пятая конструкция, – писал Платон в «Тимее», имея в виду додекаэдр. – Его бог определил для Вселенной, прибегнув к нему в качестве образца».[3]