Основываясь на этом, Архимед математически доказал, что:

...

«Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз.

Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости.

Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жидкости, соответствующий погруженной [части тела], имел вес, равный весу всего тела.

Тела, более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с силой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела.

Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до самого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела».

Последнее утверждение фактически и содержит общеизвестный закон Архимеда, важный закон гидростатики, согласно которому каждое тело, погруженное в жидкость, теряет столько своего веса, сколько весит вытесненная им жидкость (на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости).

Отметим, что знаменитое восклицание «Эврика!» («Я нашел!») относится к первому практическому применению этого самого закона Архимеда.

Согласно легенде, однажды к Архимеду обратился недоверчивый правитель Сиракуз, подозревавший своего ювелира в обмане. Он попросил проверить, соответствует ли вес изготовленной для него золотой короны весу отпущенного им на нее золота.

Рассказ об этом приведен у древнеримского автора второй половины I века до н. э. Марка Витрувия Поллиона в его трактате «Десять книг об архитектуре»:

...

«Исходя из своего открытия, он, говорят, сделал два слитка, каждый такого же веса, какого была корона, – один из золота, другой из серебра. Сделав это, он наполнил водой сосуд до самых краев и опустил в него серебряный слиток, и вот, какой объем слитка был погружен в сосуд, соответственное ему количество вытекло воды. Вынув слиток, он долил в сосуд такое количество воды, на какое количество стало там ее меньше, отмеряя вливаемую воду секстарием [1] , чтобы, как и прежде, сосуд был наполнен водой до самых краев. Так отсюда он нашел, какой вес серебра соответствует какому определенному количеству воды.

Произведя такое исследование, он после этого таким же образом опустил золотой слиток в полный сосуд. Потом, вынув его и добавив той же мерой вылившееся количество воды, нашел на основании меньшего количества секстариев воды, насколько меньший объем занимает слиток золота по сравнению с одинаково с ним весящим слитком серебра. После этого, наполнив сосуд и опустив в ту же воду корону, нашел, что при погружении короны вытекло больше воды, чем при погружении золотой массы одинакового с ней веса; и таким образом на основании того заключения, что короной вытеснялось большее количество воды, чем золотым слитком, он вскрыл примесь в золоте серебра и обнаружил явное воровство поставщика».

Итак, Архимед сделал два слитка: один из золота, другой из серебра, и каждый – такого же веса, что и корона. Затем он поочередно положил их в сосуд с водой, отметив, насколько поднялся ее уровень. Опустив в сосуд корону, Архимед установил, что ее объем превышает объем золотого слитка, а это значило, что корона изготовлена не из чистого золота, а из сплава золота с серебром.

Я. Г. Дорфман в своей «Всемирной истории физики» отмечает:

...

«Это выдающееся открытие Архимеда знаменует собой первое в истории применение физического измерительного метода к контролю и анализу химического состава без нарушения целостности изделия. Огромное практическое значение этого открытия в эпоху, когда еще никаких других методов подобного рода не было, естественно, привлекло к себе всеобщее внимание и стало предметом дальнейших исследований и практических использований на протяжении многих последующих веков».

Но Архимед не ограничился описанным выше достаточно примитивным экспериментом, а перешел к более точному количественному измерению. По словам жившего в первой половине XII века среднеазиатского физика, астронома и математика Ал-Хазини, ссылавшегося на не дошедший до нас трактат грека Менелая Александрийского, Архимед «изобрел механическое приспособление, которое, благодаря своему тонкому устройству, позволило ему определить, сколько золота и сколько серебра содержится в короне, не нарушая ее формы».

Ал-Хазини привел схему этих «весов Архимеда». На них имелся подвижный груз, с помощью которого можно было, сравнивая веса упомянутых слитков, определять численное отношение удельных весов золота и серебра. А это, в свою очередь, позволяло установить относительное количество золота и серебра в короне.

Потом, основываясь на принципах Архимеда, грек Синезий из Кирены, живший в IV веке, изобрел гидроскоп —прибор для определения удельного веса жидкостей. Этот прибор, изготовленный из бронзы, имел насечки, и по ним можно было находить точные значения, используя специальные таблицы удельных весов различных жидкостей. К сожалению, подобные таблицы до наших дней не сохранились.

Наряду с фундаментальной наукой, Архимед много времени уделял практике. Он по праву считался одним из крупнейших инженеров своего времени.

Страстно увлеченный механикой, Архимед создал и проверил теорию пяти простых механизмов: рычага, клина, блока, бесконечного винта (он используется в современной мясорубке) и лебедки.

Архимед говорил: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю». Кстати сказать, ученые потом подсчитали, что теоретически это возможно, но для этого надо иметь рычаг, у которого один отрезок длиннее другого в 1023 раз.

В древности Архимеду приписывали около 40 открытий в области практической механики. Из того, что описано его биографами, известно, что на основе бесконечного винта Архимед изобрел машину для поливки полей (так называемую «улитку»), устройство для откачки воды из трюмов и шахт и, наконец, пришел к изобретению болта, сконструировав его из винта и гайки.

Но наиболее успешно Архимед придумывал конструкции военных машин. И это понятно. Могущественные соседи – Рим и Карфаген – прилагали немало усилий для того, чтобы подчинить себе Сиракузы. В свою очередь, царь Гиерон и его преемники делали все, чтобы сохранить независимость, поэтому в оборонительных планах Сиракуз военная техника занимала особое место.

Известно, что под руководством Архимеда сиракузцы построили множество устройств: это были и мощные метательные машины, и подъемные механизмы для переворачивания атакующих кораблей противника, и т. д. В основе всех этих конструкций лежал рычаг, позволявший поднимать большие тяжести, затрачивая относительно небольшие усилия. Отсюда, кстати, и пошло название «механика», что в переводе с греческого означает «искусство построения машин».

В очередной раз римляне, под командованием полководца Марка Клавдия Марцелла, осаждали Сиракузы во время второй Пунической войны. При этом Архимед был душой сопротивления. Он сконструировал несколько боевых машин, которые позволили горожанам в течение трех лет отражать атаки превосходящего в живой силе противника.

К сожалению, даже знания Архимеда не смогли спасти его родину от печальной участи: в 212 году до н. э. римляне вторглись в Сиракузы и подвергли город грабежу. При этом сам Архимед погиб: его зарубил мечом римский солдат. Согласно легенде, произошло это в тот момент, когда старик ученый был поглощен поисками решения очередной технической задачи. Он сидел на полу, посыпанном песком, на котором были начерчены какие-то замысловатые геометрические фигуры. Когда римлянин подбежал к нему, Архимед якобы встретил его словами: «Только не трогай моих фигур!».