73. а) Сформулируйте критерий описанного четырёхугольника. (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (2)

74. а) Сформулируйте критерий вписанного четырёхугольника. (1)

б) Докажите соответствующую теорему. (2)

1. Докажите, что

(рис. 113). (1)

Рис. 113.

2. Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы. (1)

3. Докажите, что сумма внешних А углов выпуклого n-угольника равна 360°. (1)

4. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну. (1)

5. Около какого параллелограмма можно описать окружность? Ответ: поясните. (1)

6. Во всякий ли параллелограмм можно вписать окружность? Ответ: обоснуйте. (1)

7. Около какой трапеции можно описать окружность? Почему? (1)

8. АВ = а, ВС = b. Найдите длину BD (рис. 114). (1)

Рис. 114.

9. АС = a, AD = b. Найдите длину АВ (рис. 115). (1)

Рис. 115.

10. В каком отношении точка X делит отрезок АВ, если известно, что длина всего отрезка АВ так относится к длине большей части АХ, как большая часть к меньшей части ХВ («золотое сечение») (рис. 116)? (1)

Рис. 116.

11. Могут ли две прямые иметь две точки пересечения? Объясните ответ. (1)

12. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ. (1)

13. Может ли прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых, не пересекать другую? Объясните ответ. (1)

14. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекать каждую его сторону? Почему? (1)

15. Найдите угол между биссектрисами смежных углов. (1)

16. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. (1)

17. Докажите, что у равнобедренного треугольника:1) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны; 2) медианы, проведённые из тех же вершин, тоже равны. (1)

18. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе этого угла и стороне, прилежащей к этому углу. (1)

19. Даны два равнобедренных треугольника с общим основанием. Докажите, что их медианы, проведённые к основанию, лежат на одной прямой. (1)

20. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из них. (1)

21. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. (1)

22. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке Е и делятся этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС и BD параллельны. (1)

23. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. (1)

24. В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны АС. Найдите угол В треугольника. (1)

25. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок её, заключённый между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (1)

26. Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат. (1)

27. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, проходящей через середины двух его сторон. (1)

28. Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. (1)

29. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. (1)

30. Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основании равны. (1)

31. Докажите, что любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. (1)

32. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС. (1)

33. Могут ли пересекаться окружности с радиусами R1 и R2 и расстоянием между центрами d, если R1 + R2 < d? (1)

34. Найдите радиус r окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, и радиус R окружности, описанной около него. (1)

35. Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для которых |х| = 3. (1)

36. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1; 2), касающейся оси х. (1)

37. Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника. (1)

38. Сколько осей симметрии у равностороннего треугольника? (1)

39. Докажите, что ромбы равны, если у них равны диагонали. (1)

40. Даны точки A(0; 1), В(1; 0), С(1; 2), D(2; 1). Докажите равенство векторов АВ и CD.(1)

41. Дан параллелограмм ABCD, AC = a, DB = b. Выразите векторы АВ, СВ, CD и АD через а и b (рис. 117).(1)

Рис. 117.

42. Докажите, что для любого вектора

43. Докажите, что дуги окружности, заключённые между параллельными хордами, равны. (2)

44. Докажите правильность соотношения

(рис. 118). (2)

Рис. 118.

45. Докажите правильность соотношения

(рис. 119). (2)

Рис. 119.

46. АВ – касательная. Докажите, что х = ?/2 (рис. 120). (2)

Рис. 120.

47. Докажите, что если два треугольника подобны с коэффициентом подобия k, то с тем же коэффициентом подобия подобны соответствующие линейные элементы этих треугольников (высоты, медианы, радиусы описанной и вписанной окружностей, периметры и т. д.). (2)

48. Докажите, что если для четырёх точек плоскости А, В, М и К выполняется одно из следующих условий: а) точки М и К расположены по одну сторону от прямой АВ и при этом ?АМВ = ?АКБ; б) точки М и К расположены по разные стороны от прямой АВ и при этом ?АМВ + ?АКБ = 180°, то точки А, В, М и К лежат на одной окружности. (2)

49. Докажите, что биссектриса внешнего угла треугольника обладает свойством, аналогичному биссектрисе внутреннего угла, а именно:

(рис. 121). (2)

Рис. 121.

50. ABC – произвольный треугольник. СР и AQ – высоты. Докажите, что треугольник ABC и треугольник PBQ подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 122)? (2)

Рис. 122.

51. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника. (2)

52. Докажите равенство треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углам, которые образует с ней медиана. (2)

53. Разделите отрезок АВ с помощью циркуля и линейки на n равных частей. (2)

54. На стороне АВ треугольника ABC взята точка X Докажите, что отрезок СХ меньше, по крайней мере, одной из сторон АС или ВС. (2)