55. Какая геометрическая фигура задана уравнением

56. Докажите, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм. (2)

57. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии. (2)

58. Докажите, что отрезки, соединяющие противоположные вершины описанного шестиугольника, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона). (3)

59. Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых к прямым, содержащим стороны треугольника, из произвольной точки описанной около него окружности, лежат на одной прямой (теорема Симпсона). (3)

60. Докажите, что если противоположные стороны вписанного шестиугольника не параллельны, то точки пересечения продолжений этих сторон лежат на одной прямой (теорема Паскаля). (3)

61. Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой (рис. 123). (3)

Рис. 123.

62. Пусть точка А расположена внутри круга радиуса R на расстоянии а от его центра. BB1 – произвольная хорда, проходящая через А. Тогда произведение ВА ? АВ1 постоянно и ВА ? АВ1 = R2– а2. Докажите, что если точка А лежит вне круга, то ВА ? АВ1 = а2 – R2. (3)

63. Докажите, что центр описанной окружности, точка пересечения медиан и точка пересечения высот лежат на одной прямой (теорема Эйлера). (3)

64. Докажите, что в остроугольном треугольнике точка пересечения высот является центром окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника. (3)

65. Докажите, что для треугольника:

66. Даны две точки А и В. Докажите, что геометрическим местом точек М таких, что AM: ВМ = k (к ? 1), является окружность с центром на прямой АВ (окружность Anолонния). (3)

67. Найдите углы четырёхугольника ABCD (рис. 124). (3)

Рис. 124.

68. В треугольнике ABC отрезок А1B1, соединяющий основания высот АА1 и ВВ1, виден из середины стороны АВ под углом ?. Найдите величину угла С этого треугольника. (3)

69. Стороны треугольника равны а, b, с. В каком отношении делятся биссектрисы треугольника точкой их пересечения? (3)

70. Докажите, что расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (речь идёт о треугольнике) равно

(формула Эйлера). (3)

71. Докажите, что в любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности радиуса R/2 (окружность девяти точек). Где находится центр данной окружности? Какое свойство есть у этой окружности? (3)

72. Докажите, что если прямая, не проходящая через вершины треугольника ABC, пересекает его стороны (прямые, содержащие стороны) АВ, ВС, СА соответственно в точках A1, B1 С1 то середины отрезков АА1, ВВ1, СС1 лежат на одной прямой (теорема Гаусса). (3)

73. Докажите, что если прямые АА1, ВВ1, СС1, соединяющие вершины треугольников ABC и A1B1C1, пересекаются в одной точке S или параллельны, то точки пересечения прямых АВ и А1В1, ВС и В1С1, АС и A1C1 (если они существуют) лежат на одной прямой (теорема Дезарга). Докажите обратную теорему. (3)

74. Докажите, что касательные в вершинах неравнобедренного треугольника к описанной около него окружности пересекают прямые, содержащие противоположные стороны этого треугольника, в трёх точках, лежащих на одной прямой (теорема Паскаля). (3)

75. Докажите теорему косинусов для четырёхугольника. (3)

76. Докажите, что для любого треугольника R ? 2r, причём равенство возможно только для равностороннего треугольника. (3)

77. Выведите координатные формулы движений плоскости. (3)

I. Для параллельного переноса:

х' = х + а

y' = у + b.

II. Для центральной симметрии:

x' = 2x0 – x

y' = 2y0 – y.

III. Для поворота:

х' = х ? cos? – у sin?

y' = х ? sin? + у ? cos?.

IV. Для осевой симметрии (уравнение прямой ах + by + с = 0):

78. Докажите, что если точки А, В, С лежат на одной прямой, а точки А1, В1, С1 – на другой, и АВ1||А1В, ВС1||В1С, то АС1||А1С (теорема Паппа). (3)

79. Выведите координатные формулы инверсии:

Решение наибольшего числа задач по планиметрии предполагает знание формул планиметрии и тригонометрии. Это прежде всего задачи на решение треугольников, нахождение различных линейных элементов в геометрических фигурах (длин медиан, биссектрис, радиусов окружностей и т. д.), определение углов.

При решении вычислительных задач на треугольник нужно знать следующие формулы (рис. 125):

Рис. 125.

где a, b, с – стороны треугольника;

?, ?, ? – противолежащие им углы;

r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;

ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;

S – площадь треугольника;

– полупериметр треугольника.

Иногда применяют формулу

а также формулу расстояния между центрами описанной и вписанной окружностей:

1. Определите вид треугольника (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный) со сторонами 8, 6 и 11 см (рис. 126). (1)

Рис. 126.

Решение. Обозначим больший угол треугольника через ?. Очевидно, что он лежит напротив стороны в 11 см, так как в треугольнике больший угол лежит против большей стороны. По теореме косинусов 112= 82+ 62– 2?8?6?cos ?;

cos ? = -7/32 < 0, значит, угол ? – тупой.

Можно было рассуждать и по-другому. Если бы угол ? был равен 90°, то большая сторона по теореме Пифагора равнялась бы

Удлинение стороны на 1 см автоматически увеличивает и лежащий напротив угол – он становится тупым.

Ответ: тупоугольный.

2. Основание треугольника равно 6 см, один из углов при основании равен 105°, другой – 45°. Найдите длину стороны, лежащей против угла в 45° (рис. 127). (1)

Рис. 127.

Решение. Пусть в треугольнике ABC будут АС = 6 см, ?А = 45°, ?С = 105°. Обозначим длину стороны ВС через х. Её нам и нужно найти. Воспользуемся теоремой синусов по которой:

Учитывая, что сумма углов в треугольнике равна 180°, получим:?В = 180° – ?A – ?C = 180°– 45°– 105° = 30°.

Итого

Ответ:

3. Найдите площадь треугольника со сторонами 2, ?5 и 3 (рис. 128). (1)