Ответ: 150.

58. Диагональ ромба равна его стороне, ее длина 10 см. Найдите вторую диагональ и углы ромба. (1)

59. В ромб, сторона которого 20 см, вписан круг. Найти площадь круга, если одна диагональ ромба больше другой в 4/3 раза. (2)

60. В ромб с острым углом 30° вписан круг, площадь которого равна Q. Найдите площадь ромба. (2)

Для прямоугольника справедливы все формулы для параллелограмма, только угол между сторонами равен 90°. Поэтому S = ab = 1/2d2d2 sin?.

61. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника (рис. 156). (1)

Рис. 156.

Решение. Очевидно, что центр описанной около прямоугольника окружности является точкой пересечения диагоналей прямоугольника. Из рисунка видно, что ОВ = 5, BE = BC/2 = 8/2 = 4.

Тогда по теореме Пифагора находим:

Ответ: 6 см; 8 см; 6 см.

62. Стороны прямоугольника 5 и 4 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на 3 части. Найдите длины этих частей (рис. 157). (2)

Рис. 157.

Решение. Проведем в прямоугольнике ABCD биссектрисы AM и DK (см. рис. 157). Получим:?ВАМ = 1/2 ?BAD = 1/2 ?90° = 45°. Отсюда следует, что ?АВМ – равнобедренный (?ВMA = 45°) и, значит, ВМ = АВ = 4. МС = ВС – ВМ = 5–4 = 1.

Очевидно, что ВК = МС = 1;

КМ = ВС – ВК – МС = 5–1 – 1 = 3.

Ответ: 1; 3; 1.

63. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади (рис. 158). (3)

Рис. 158.

Решение. Обозначив ?АОВ =?, получим: АВ = R sin ?, АО = R cos ?, S = AB ? AD = AB ? 2AO = 2R2sin ? ? cos ?, 0° < ? < 90°.

Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и будем иметь:

S = R2sin2?. Так как sin2? ? 1, то S максимальна при условии sin2? = 1, т. е. когда 2? = 90°, ? = 45°. При этом S = R2. Стороны прямоугольника при этом будут равны

Ответ:

64. Диагональ прямоугольника делит угол в отношении 2:1. Найдите отношение сторон прямоугольника. (1)

65. Площадь прямоугольника равна 9?3 см2, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найдите стороны прямоугольника. (2)

66. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее удаленной от нее вершины прямоугольника. (3)

Если а – сторона квадрата, d – его диагональ, то S = a2= d2/2.

67. Радиус окружности, в которую вписали квадрат, равен 6. Найдите площадь квадрата (рис. 159). (1)

Рис. 159.

Решение. Очевидно, что центр описанной около квадрата окружности есть точка пересечения его диагоналей. Это означает, что ОВ – радиус окружности и ОВ = 6. Тогда АВ = 12 и по теореме Пифагора AC2+ ВС2= AB2. Обозначив длину стороны квадрата через а, получим: а2+ а2= 122; 2 ? а2= 144; а2 = 72. Sквадрата = a2= 72.

Ответ: 72.

68. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2. Найдите периметр квадрата (рис. 160). (2)

Рис. 160.

Решение. Площадь заштрихованного сегмента, как видно из рисунка, можно вычислить по формуле:

где а – длина стороны квадрата, R – радиус описанной окружности. Выразим R через а.

Таким образом,

С учётом условия получаем уравнение:

Рквадрата = 4a = 4 ? 4 = 16 см.

Ответ: 16 см.

69. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5?2 и что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О – вне или внутри квадрата (рис. 161). (3)

Рис. 161.

Решение. Так как OB = OD, то точка О лежит на перпендикуляре к середине отрезка BD, т. е. на прямой АС. Обозначим через К точку пересечения диагоналей квадрата. Из условия следует, что ОВ > ОС; значит, точка О лежит по одну сторону с точкой С относительно перпендикуляра к середине отрезка ВС. Отсюда следует, что точка О лежит на луче КС.

Обозначим КО через х и АВ = CD через y. Так как

и

Применяя к прямоугольному треугольнику KOD теорему Пифагора, получаем: OD2= КО2+ KD2или 169 = х2+ 1/2 у2.

Предположим, что КО ? КС или

тогда х2 ? 1/2 у2(заметим, что числа x и y неотрицательны) и

т. е. площадь квадрата не превосходит 169, что противоречит условию. Следовательно,

т. е. КО < КС, и точка О лежит внутри квадрата. Теперь получаем

Из первого уравнения

Подставляя

вместо х во второе уравнение, после арифметических преобразований получаем уравнение у2– 10у – 119 = 0. Это квадратное уравнение имеет корни у1 = -7 и у2 = 17. Так как у есть длина отрезка, то у > 0 и, значит, y = 17.

Ответ: длина стороны квадрата равна 17; точка О лежит внутри квадрата.

70. Сторона квадрата равна 7 см. Определите диаметр окружности, описанной около квадрата. (1)

71. В квадрат вписан круг, а в полученный круг вписан квадрат. Найдите отношение площадей квадратов. (1)

72. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника. (2)

73. Дан квадрат ABCD. На его сторонах вовне построены равносторонние треугольники ABM, BCN, CDK, DAL. Найдите площадь четырёхугольника MNKL, если АВ = 1. (2)

Для произвольного выпуклого четырёхугольника S = 1/2 d1d2 sin?. Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны, a S = рr, где р – полупериметр, r – радиус вписанной окружности.