Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны по 180°.

Для правильного n-угольника:

(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, а – длина стороны правильного n-угольника).

Полезно также помнить, что в правильном шестиугольнике a6 = R.

74. Сторона правильного шестиугольника равна 6. Найдите длину вписанной в него окружности (рис. 162). (1)

Рис. 162.

Решение. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности. Значит, треугольник АВО – правильный, угол АВО составляет 60°, a OB = R = 6. Радиусы вписанной в правильный шестиугольник окружности перпендикулярны его сторонам. В частности на рис. показано, что r ? АВ, где r = ОР. Тогда из прямоугольного треугольника ОРВ имеем:

Ответ:

75. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°? (2)

Решение. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°, сумма внутренних углов равна 180°(n – 2). Величина угла в правильном n-угольнике равна

Получаем уравнение:

180°(n – 2) = 108°n;

72°n = 360°; n = 5.

Ответ: 5.

76. Сторона правильного шестиугольника равна 14. Найдите сторону равновеликого ему правильного треугольника. (1)

77. В правильный треугольник вписана окружность, а в неё – правильный шестиугольник. Найдите отношение площадей треугольника и шестиугольника. (2)

78. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр четырёхугольника ABCD. (3)

При решении задач на окружность и круг применяются следующие формулы:

если ? выражена в радианах. Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.

Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

79. Даны две концентрические окружности. Длина одной из них равна 33?, другой 27?. Найдите ширину кольца (рис. 163). (1)

Рис. 163.

Решение. Очевидно, что ширина кольца hкольца = R – r (см. рис). Зная длины окружностей, найдём их радиусы.

Ответ: 3.

80. Найдите площадь сектора круга с радиусом R = 4 и центральным углом в 30°. (1)

Решение. Площадь сектора с углом в 30° в 36°/3° = 12 раз меньше площади всего круга. Значит, площадь сектора

Ответ: 4/3?.

81. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных (рис. 164, а; б). (2)

Рис. 164.

Решение. Из рисунка видно, что четырёхугольник АВ02О1 – трапеция. В самом деле, радиусы О1А и О2В перпендикулярны общей касательной АВ, а значит, параллельны друг другу. Проведём среднюю линию EF трапеции АВO2О1. По свойству средней линии трапеции находим

Легко видеть, что КМ – средняя линия трапеции EВО2F(см. рис. 164, б).

Ответ: 3/2.

82. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ? (рис. 165)? (2)

Рис. 165.

Решение. Пусть АО = ОВ = ОС = х (см. рис). D – центр вписанного в сектор круга. Тогда ОС – биссектриса ?АОВ и ?СОВ = 1/2 ?АОВ = 1/2 ? 60° = 30°. Из прямоугольного треугольника ODK:

Ответ: 3.

83. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга (рис. 166). (2)

Рис. 166.

Решение. Как видно из рисунка, треугольники ADO и ОЕС – равносторонние (например, у ?ADO ?А = 60°; АО = OD, значит, ?ADO = 60°).

Искомая площадь:

Ответ:

84. На плоскости даны две окружности с радиусами 12 см и 7 см и центрами в точках О1 и О2 касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка М1М2 к длине отрезка О1O2 равно

Вычислить длину отрезка М1М2 (рис. 167). (3)

Рис. 167.

Решение. Пусть S1 и S2 – две окружности, удовлетворяющие условию задачи. Поскольку точки М1 и М2 являются точками касания окружностей S1 и S2 с прямой М1М2, то О1М1 ? М1М2 и O2М2 ? М1М2. Соединим центры О1 и O2 этих окружностей и проведём через точку О1 прямую, параллельную прямой М1М2. Пусть точка К будет точкой пересечения прямых O2М2 и прямой, проведённой параллельно прямой М1М2 через точку О1. Получим прямоугольный треугольник O1O2K с гипотенузой O1O2. Применяя к прямоугольному треугольнику О1КO2 теорему Пифагора, имеем:

О1О22= O1K2+ KO22(1)

Поскольку

то

Поскольку КМ2 = О1М1 и КO2 = КМ2 – М2O2, то КO2 = 5 см. Наконец,

Теперь из равенства (1) с учётом (2) и (3), а также КO2 = 5 см, следует, что 5/4 М1М22= М1М22+ 25, откуда

Ответ: 10 см.

85. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам. (1)

86. Точка лежит вне круга на расстоянии диаметра от центра круга. Найдите угол между касательными, проведенными из данной точки к данному кругу. (1)

87. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей. (2)

88. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 6 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах треугольника. (2)