Рис. 57.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).

а||b ? ? = ?

? + ? = 180°.

Рис. 58.

Признаки параллельности прямых.

Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):

внутренние накрест лежащие углы равны ? а||b.

Рис. 59.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):

а||b.

Рис. 60.

Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):

а||b.

Рис. 61.

Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).

Рис. 62.

Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).

Рис. 63.

Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

Связь между параллельностью и перпендикулярностью.

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).

(а ? с, b ? с) ? а||b.

Рис. 64.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):

(а ? b, b||с) ? а ? с.

Рис. 65.

Свойство вертикальных углов.

Вертикальные углы равны (рис. 66):

? = ?.

Рис. 66.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):

АВ = ВС ? ?А = ?С.

Рис. 67.

Теорема о сумме углов в треугольнике.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):

? + ? + ? = 180°.

Рис. 68.

Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.

Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).

Рис. 69.

Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.

Теорема о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):

? = ? + ?.

Рис. 70.

Теорема о величине вписанного в окружность угла.

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):

Рис. 71.

Признаки равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 72).

Рис. 72.

?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и ?A = ?A1.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).

Рис. 73.

?ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).

Рис. 74.

?ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).

Рис. 75.

?ABC = ?A1B1C1 т. к. ?А = ?А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.

Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).

Рис. 76.

?АВС = ?А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ?А = ?A1 a ?С = ?С1 = 90°.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).

Рис. 77.

(АВ = ВС, АМ = МС) ? (?АВМ = ?МВС, ?АМВ = ?ВМС = 90°).

Свойство средней линии треугольника.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).

Рис. 78.

EF||AC, EF = 1/2АС, т. к. АЕ = ЕВ и BF = FC.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).

Рис. 79.

Теорема косинусов.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (рис. 80).

Рис. 80.

а2= b2+ с2– 2bc cos ?.

Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов).

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).