После выделения радиальной части ФГ ключевой становится задача решения неоднородного радиального УД с широким интервалом изменения параметра ζ. Радиальное уравнение в матричном виде

Здесь χ– квантовое число Дирака. Для угловых частей известны точные аналитические выражения, в которых учтено суммирование по моментным проекциям виртуальных состояний [2]. Радиальную часть ФГ можно стандартно выразить в виде комбинации двух фундаментальных решений однородного уравнения Дирака. С помощью фундаментальных решений элементы G ^ij ФГ представляются в виде:

Здесь fи g– большая и малая компоненты функции Дирака, N– нормировочный множитель. Знак “~” применяется для обозначения второго фундаментального решения. Для конкретизации задачи предполагаем, что частица движется в сферически симметричном кулоновском потенциале. В таком приближении ее состояние определяется значениями главного квантового числа, полным моментом и четностью. Соответствующие биспиноры имеют стандартный вид [2]:

Здесь – шаровой спинор, g( r) и f( r) – радиальные функции Дирака, которые удовлетворяют системе уравнений:

Вид радиальных функций, естественно, зависит от вида потенциала V( r). Для регулярного при r→0 V( r), при r→∞ переходящего в чисто кулоновский, при каждом значении ζ, æсуществуют решения двух типов (см. [3] и ссылки там):

а) регулярное при r→0

æ<0 : æ>0

б) сингулярное при r→0

æ<0 æ>0

Вычислительные трудности всей задачи связаны в основном с вычислением второго фундаментального решения, для чего использован метод Иванова-Ивановой [3]. Вся вычислительная процедура сведена к решению одной системы обыкновенных ДУ (для численного интегрирования применяется схема Рунге-Кута) и реализована в виде комплекса программ (для Fоrtran Power Station 4.0) для РС Pentium II.

Литература

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М., 1989.

Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. – М., 1979.

Ivanov L.N., Ivanova E.P., Knight L. // Phys. Rev. A. – 1993. – V.48. – P. 436.

Glushkov A.V., Ivanov L.N. // Phys. Lett. A. – 1992. – V. 170. – P. 33.

НОВІ МЕТОДИ СУЧАСНОЇ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

І ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ:

ДЕЯКІ НАУКОВІ ТА МЕТОДИЧНІ АСПЕКТИ

О.В. Глушков, С.В. Малиновська

м. Одеса, Одеський державний екологічний університет

В сучасній математичній фізиці значний розвиток та широкі застосування отримав математичний апарат опису нелінійних квантових систем, який базується на операторній теорії збурень (ТЗ) (див. [1]) та S–матричному адіабатичному формалізмі Гелл-Мана та Лоу (див. напр.[2]). Особливо значні результати можуть бути отримані при його застосуванні в розв’язанні задач взаємодії складних систем із зовнішніми полями. Викладання цього апарату, як правило, потребує високого навчально-методичного та наукового рівня. Нижче ми розглянемо питання його викладання та застосування в наукових задачах на прикладі розв’язання задачі взаємодії “квантова система – зовнішнє поле”.

Мета – отримати основні характеристики – лінії радіаційного поглинення, які варто описувати на підставі техніки моментів  _m. Розглядається взаємодія квантової, наприклад, атомної системи (КС) з когерентним випромінюванням (КВ). Відомі розв’язки подібної задачі для випадку гармонічного КВ, але для сильних (стохастичних тощо) полів задача ще досить далека від свого послідовного розв’язання. Взаємодію КС-КВ можна описувати потенціалом:

V( r, t)= V( r)  d f(   ₀) [ ₀ t+  ₀ n],

де n– ціле число. Умова  d f ² ()=1 нормує потенціал V( rt) на певну енергію. Функцію f() візьмемо в гаусовій формі: I exp [ –ln2 (/D) ²]. Далі для рівня  КС розраховується Im частина енергетичного зсуву Е як функція центральної частоти імпульсу КВ  ₀. Шукана функція має форму резонансу. Кожен резонанс можливо пов’язати з певним переходом КС «-р», в якому поглинається « k» фотонів (, n– дискретні рівні в спектрі КС). Для резонансу розраховуються моменти ліній:

 p| k) =   d Im E _ () (  -  _{p } / k) / N, (1)

 _m=   d Im E _ () (  -  _{p } / k) ^m/ N,

де   d Im E _ – нормуючий фактор;  _{p } – положення незсунутої лінії КС переходу - p; ( pa| k) – зсув лінії при k–фотонному поглинанні;  _{p }= _{p }+ k p| k). Моменти  ₁,  ₂и  ₃визначають відповідно зсув лінії, її дисперсію та асиметрію. Для розрахунку  _m необхідно провести розклад E _в ряд ТЗ: E _ =  E _ ^{( 2k )}( ₀). З цією метою використовуємо адіабатичну формулу Гелл-Мана та Лоу для енергетичного зсуву:

 E _: E _= gln _| S _(0,| g)| _| ^{g = 1}.

де S _– матрица розсіювання. Визначення S-матриці у виді ряду ТЗ індукує розклад для  E _ :

 E _ ( ₀)=i( k ₁, k ₂,..., k _n ) I _ ( k ₁, k ₂,..., k _n ), (2)

I _ ( k ₁, k ₂,..., k _n ) = S _ ^{( kj )},

S _ ^{( m )}= (-1) ^m t ₁... t _m  _| V ₁ V ₂... V _m |  _,

V _j = exp (1 H ₀ t _j ) V( rt _j ) exp (-1 H ₀ t _j ) exp ( t _j ). (3)

де H– оператор Гамільтону КС; a( k ₁, k ₂,..., k _n ) – чисельні коефіцієнти. Матричні елементи S _ ^{( m )}представляють 2 ^m доданків відповідно двом доданкам V ^в (3). В кожному є m-кратне інтегрування по часу та m-кратне сумування по КВ імпульсам. В I _ ( k ₁,  k ₂, ..., k _n ) є крім кінцевих при 0 доданків всі можливі степені розбіжності від 1/ до 1/ ^m. Більш сильні ніж 1/ розбіжності природно компенсуються у кожному наближенні ТЗ. У двох перших наближеннях ТЗ при обмеженні одним членом розкладу по D ²для  E _ ( ₀) маємо: