Работающий математик, как правило, в душе является платонистом. Это означает, что он верит в объективное существование математической реальности, исследованием которой занимается. Для него математические сущности столь же реальны, как для зоолога — кенгуру. Он должен быть убежден в том, что открываемые им объекты и их свойства существуют независимо от его ума, и сама математика не является просто «выдумкой». Однако помимо платонизма есть и другие представления. Их отличия можно продемонстрировать на примере такого типичного математического объекта, как число [?].

Где живет число пи?

Исторически оно появилось как отношение длины окружности к ее диаметру, но довольно скоро, с развитием математики, стало ясно, что число это куда более «вездесуще» и появляется в самых разных математических рассуждениях. Первоначально значение π определялось чисто эмпирически и, как всякое опытное знание, имело приближенный характер. В Древнем Вавилоне его полагали равным 25/8 (31/8). Великий древнегреческий математик Архимед, в распоряжении которого при вычислениях были только простые дроби, из геометрических рассуждений выяснил, что π лежит между 310/71 и 31/7. Со временем точность возрастала, и теперь известно, что численное значение π представляется бесконечной непериодической десятичной дробью:

π = 3,141592653589793238346…

Цифры этого бесконечного разложения получают по определенным алгоритмам, которые задают процесс конструирования числа, шаг за шагом все ближе подходя к «истинному» значению π. При этом одни подходы дают удовлетворительные приближения быстрее других, и в этом состоит цель поиска новых алгоритмов. Конечно, ни один метод не даст нам все знаки числа π, поскольку не в наших силах отобразить на бумаге или в памяти компьютера их бесконечную последовательность. Поэтому на практике мы располагаем лишь конечными (пусть и весьма длинными) фрагментами записи числа π и алгоритмами для вычисления еще неизвестных его знаков. Но алгоритмы есть продукт человеческой изобретательности и сильно различаются между собой. Кто знает, не дадут ли они разные результаты при вычислении, скажем, стотриллионного или еще более далекого знака числа π? А раз так, то нет оснований говорить о том, что число π существует само по себе вне и независимо от человеческого разума.

Различные вариации этой точки зрения известны в философии математики под названиями конструктивизм и интуиционизм. Первый термин отражает установку, согласно которой признается существование лишь тех математических объектов, которые хотя бы теоретически можно сконструировать за конечное время. Второй апеллирует к понятию математической интуиции, которой, как предполагается, доступны лишь конечные объекты, а потому бесконечные сущности вроде полной последовательности знаков числа π, даже если и существуют в каком-то смысле, не могут быть предметом доказательных рассуждений в математике.

История уточнения числа пи

25/8 = 3,125 — Вавилония, начало XIX в. до н. э.

256/81 [?] 3,160 — Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)

339/108 ≈ 3,139 — Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)

223/71 (3,1408) < π < 22/7 (3,1428) — Архимед, Греция, 250 г. до н. э.

3,1416 — Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.

3,1415926 < π < 3,1415927 — Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.

3,14159265359 — Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.

16 знаков — Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.

35 знаков — Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)

100 знаков — Джон Мэчин, Англия, 1706 г.

200 знаков — Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)

527 знаков — Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)

2037 знаков — Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)

16 167 знаков — Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)

1 001 250 знаков — Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)

1 011 196 691 знаков — братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)

206 158 430 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.

1 241 100 000 000 знаков — Ясумаса Канада, Япония, 2002 г. (HITACHI SR8000/MPP, 64 процессора, 600 часов счета)

Три взгляда на одно число

Теперь мы можем представить три основные точки зрения на то, в каком смысле существует математический объект π. Во-первых, это эмпирически определенное отношение длины окружности круглого предмета к его диаметру, причем геометрические термины здесь служат лишь для указания на приближенные свойства физических предметов. Хотя эта точка зрения кажется самой естественной, ее трудно защитить. Фундаментальное затруднение состоит в том, что универсальные математические истины невозможно обосновывать частными эмпирическими обстоятельствами.

Во-вторых, число π можно рассматривать как объект, существующий независимо от человеческого сознания и принадлежащий миру математических сущностей. Эта платонистская точка зрения ведет к тому, что все истины о π, включая еще не доказанные теоремы, в которых оно используется, уже существуют и имеют объективный характер, независимо от того, знаем мы это или нет. И хотя цифры разложения числа π открываются нами лишь в ходе применения вычислительных алгоритмов, в мире математических объектов π существует объективно, и там наличествуют сразу все знаки его бесконечного (!) десятичного разложения.

Однако для интуиционистов такой взгляд неприемлем. Человек не может представить бесконечность, а математические объекты, с точки зрения интуиционистов, существуют лишь тогда, когда их можно сконструировать. Допустим, нам предъявлен алгоритм и сказано, что он строит последовательность знаков числа π. Платонист может ставить перед собой задачу доказать это утверждение. Поскольку все знаки π уже существуют «на самом деле», то пусть даже за некоторыми пределами мы их и не знаем, но можем попробовать доказать, что данный алгоритм дает нам именно их, а не что-то другое. Но вот с точки зрения интуициониста, это утверждение не истинно и не ложно: оно неразрешимо, так как математический объект существует только в том случае, если дан способ его конструирования. Нет способа сконструировать весь ряд цифр числа π, стало быть и такого математического объекта пока просто не существует. А раз так, то утверждение, что данный конкретный алгоритм строит неизвестные еще знаки числа π, тоже лишено смысла.

Но быть может, мы делаем ошибку, придавая столь большое значение вопросу о том, в каком смысле существуют математические объекты как нечто индивидуальное? В конце концов, число 3 есть то, что стоит после числа 2 и перед числом 4. Другими словами, важна структура натуральных чисел, свойства всего ряда в целом. Такая точка зрения называется структурализмом. С его позиций центр тяжести при обсуждении природы математики переносится с индивидуальных объектов на всю структуру. Эта концепция стала доминирующей в ходе развития аксиоматического метода, потому что аксиомы описывают именно структуру. Но для наших «вечных» вопросов это не имеет особого значения, потому что те же самые вопросы о существовании можно повторить и в отношении любой математической структуры, такой, скажем, как множество действительных чисел.

Итак, эмпиризм, платонизм и интуиционизм — три основные точки зрения на то, в каком смысле существуют математические объекты. Это, так сказать, онтология математики, представления о способах существования ее объектов. Но не менее важен и вопрос о том, каким образом мы обретаем знание свойств математических объектов. И тут от онтологии мы переходим к эпистемологии, то есть теории познания.