(с — универсальная постоянная, равная скорости света в пустоте, с = 3×1010 см/сек). Из (2) видно, что энергия частицы не может быть меньше mc2. Энергия, конечно, не возникает «из ничего». Поэтому минимальная энергия, необходимая для образования частицы данной массы m (она называется массой покоя), равна mc2.
Если рассматривается система, состоящая из медленных частиц, то их энергия может оказаться недостаточной для образования новых частиц. В такой «нерелятивистской» системе число частиц может оставаться неизменным. Это и обеспечивает возможность применения для её описания квантовой механики.
Всё изложенное выше относится к порождению частиц, имеющих отличную от нуля массу покоя. Но у фотона, например, масса покоя равна нулю, так что для его образования совсем не требуется больших, релятивистских, энергий. Однако и здесь невозможно обойтись без релятивистской теории, что ясно хотя бы из того, что нерелятивистская теория применима лишь при скоростях, много меньших скорости света с, а фотон всегда движется со скоростью с.
Кроме необходимости рассматривать релятивистскую область энергий, есть ещё одна причина важности теории относительности для К. т. п.: в физике элементарных частиц, изучение которых является одной из основных (и ещё не решенных) задач К. т. п., теория относительности играет фундаментальную роль. Это делает развитие релятивистской К. т. п. особенно важным.
Однако и нерелятивистская К. т. п. представляет значительный интерес хотя бы потому, что она успешно используется в физике твёрдого тела.
II. Квантовая электродинамика
1. Квантованное свободное поле. Вакуумное состояние поля, или физический вакуум. Рассмотрим электромагнитное поле, или — в терминах квантовой теории — поле фотонов. Такое поле имеет запас энергии и может отдавать её порциями. Уменьшение энергии поля на h n означает исчезновение одного фотона частоты n, или переход поля в состояние с уменьшившимся на единицу числом фотонов. В результате последовательности таких переходов в конечном итоге образуется состояние, в котором число фотонов равно нулю, и дальнейшая отдача энергии полем становится невозможной. Однако, с точки зрения К. т. п., электромагнитное поле не перестаёт при этом существовать, оно лишь находится в состоянии с наименьшей возможной энергией. Поскольку в таком состоянии фотонов нет, его естественно назвать вакуумным состоянием электромагнитного поля, или фотонным вакуумом. Следовательно, вакуум электромагнитного поля — низшее энергетическое состояние этого поля.
Представление о вакууме как об одном из состояний поля, столь необычное с точки зрения классических понятий, является физически обоснованным. Электромагнитное поле в вакуумном состоянии не может быть поставщиком энергии, но из этого не следует, что вакуум вообще никак не может проявить себя. Физический вакуум — не «пустое место», а состояние с важными свойствами, которые проявляются в реальных физических процессах (см. ниже). Аналогично, и для др. частиц можно ввести представление о вакууме как о низшем энергетическом состоянии полей этих частиц. При рассмотрении взаимодействующих полей вакуумным называют низшее энергетическое состояние всей системы этих полей.
Если полю, находящемуся в вакуумном состоянии, сообщить достаточную энергию, то происходит возбуждение поля, т. е. рождение частицы — кванта этого поля. Т. о., появляется возможность описать порождение частиц как переход из «ненаблюдаемого» вакуумного состояния в состояние реальное. Такой подход позволяет перенести в К. т. п. хорошо разработанные методы квантовой механики — свести изменение числа частиц данного поля к квантовым переходам этих частиц из одних состояний в другие.
Взаимные превращения частиц, порождение одних и уничтожение других, можно количественно описывать при помощи так называемого метода вторичного квантования [предложенного в 1927 П. Дираком и получившего дальнейшее развитие в работах В. А. Фока (1932)].
2. Вторичное квантование. Переход от классической механики к квантовой называют просто квантованием, или реже — «первичным квантованием». Как уже говорилось, такое квантование не даёт возможности описывать изменение числа частиц в системе. Основной чертой метода вторичного квантования является введение операторов, описывающих порождение и уничтожение частиц. Поясним действие этих операторов на простом примере (или модели) теории, в которой рассматриваются одинаковые частицы, находящиеся в одном и том же состоянии (например, все фотоны считаются имеющими одинаковую частоту, направление распространения и поляризацию). Т. к. число частиц в данном состоянии может быть произвольным, то этот случай соответствует бозе-частицам, или бозонам,
подчиняющимся Бозе — Эйнштейна статистике.
В квантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией или вектором состояния. Введём для описания состояния с N частицами вектор состояния YN; квадрат модуля YN, |YN|2, определяющий вероятность обнаружения N частиц, обращается, очевидно, в 1, если N достоверно известно. Это означает, что вектор состояния с любым фиксированным N нормирован на 1. Введём теперь оператор уничтожения частицы а– и оператор рождения частицы а+. По определению, а– переводит состояние с N частицами в состояние с N—1 частицей, т. е.
Аналогично, оператор порождения частицы а+ переводит состояние YN в состояние с N + 1 частицей:
[множители
……………………………………
Легко показать, что порядок действия операторов а– и а+ не безразличен. Действительно, а–(а+Y) = а–Y1 = Y, в то время как а+(а–Y) = 0. Т. о., (a–a+ — a+a–)Y = Y, или
a–a+—a+a– = 1, (6)
т. е. операторы а+ и а– являются непереставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в различном порядке называется перестановочными соотношениями, или коммутационными соотношениями для этих операторов, а выражения вида
