Английский математик Г.Г. Харди кратко выразил дух доказательства от противного в своей книге «Апология математика»: «Reductio ad absurdum, столь любимое Евклидом, — одно из самых прекрасных орудий математика. Это гораздо более тонкий гамбит, чем любая шахматная партия: шахматист может пожертвовать пешкой или даже какой-нибудь фигурой, но математик жертвует партией».

Одно из наиболее известных доказательств Евклида от противного — доказательство существования так называемых иррациональных чисел. По-видимому, иррациональные числа первоначально были открыты пифагорейцами несколькими столетиями раньше, но понятие иррационального числа вызывало у Пифагора столь сильное отвращение, что он отрицал существование иррациональных чисел.

Когда Пифагор провозгласил, что Вселенной управляют числа, он имел в виду только целые числа и их отношения, называемые рациональными числами. Иррациональное же число не является ни целым, ни дробью, и именно это обстоятельство казалось Пифагору отвратительным. Действительно, иррациональные числа настолько необычны, что их невозможно записать в виде конечных десятичных дробей или бесконечных периодических дробей. Например, такая бесконечная периодическая непрерывная дробь, как 0,111111…, — число весьма и весьма обыкновенное: оно равно дроби 1/9. То, что единица повторяется неограниченно много раз, означает лишь, что данное десятичное число обладает очень простой и регулярной структурой. В свою очередь такая строгая регулярность, несмотря на неоднократное (в действительности — бесконечнократное) повторение, означает, что данную бесконечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби. Но если вы захотите представить иррациональное число в виде десятичной дроби, то у вас получится бесконечная дробь, структура которой не будет регулярной и сколько-нибудь обозримой.

Для Пифагора идея красоты математики состояла в том, что рациональные числа (целые числа и обыкновенные дроби) позволяют объяснить все явления в природе. Эта путеводная философия ослепила Пифагора, не давая ему увидеть существование иррационального числа и, возможно, даже привела к казни одного из его учеников. Легенда рассказывает о том, что один из учеников Пифагора по имени Гиппас на досуге забавлялся с числом √2, пытаясь найти эквивалентную ему обыкновенную дробь. В конце концов он понял, что такой дроби не существует, т. е. √2 — иррациональное число. Совершив столь важное открытие, Гиппас, должно быть, пришел в неописуемый восторг, чего нельзя было сказать о его учителе. Пифагор определял все происходящее в мире с помощью рациональных чисел, и существование иррациональных чисел ставило под сомнение его идеал. Открытие Гиппаса могло бы повлечь за собой период споров и сомнений, и Пифагору пришлось бы признать новый источник чисел. Но Пифагор не хотел признать свои заблуждения и в то же время не мог разрушить аргументацию Гиппаса силой логики. К своему вечному позору, он приговорил Гиппаса к смерти через утопление.

Отец логики и математического метода прибег к силе, но так и не признал, что был неправ. Это было его самым позорным деянием и, возможно, величайшей трагедией греческой математики. Иррациональные числа обрели «права гражданства» в математике только после смерти Пифагора.

Введение иррациональных чисел означало гигантский прорыв в математике. Математики получили возможность бросить взгляд за пределы целых чисел и обыкновенных дробей, оглядеться и открывать или, быть может, изобретать новые числа. По словам математика XIX века Леопольда Кронекера: «Бог создал целые числа; все остальное дело рук человеческих».

Самым замечательным иррациональным числом по праву считается число π. В школе его иногда заменяют приближенным значением 31/7 или 3,14. Истинное значение π ближе к 3,14159265358979323846, но и эта длинная десятичная дробь — не более чем приближение к истинному значению числа π. В действительности же число π невозможно точно представить в виде десятичной дроби, так как десятичная дробь получается бесконечной и в распределении цифр нет никакой закономерности. Одна из замечательных особенностей случайного распределения цифр в десятичной записи числа π заключается в том, что вычислить ее можно с помощью весьма регулярного соотношения:

Вычислив первые несколько членов, вы можете получить весьма грубое приближение к π, однако последующие вычисления дают довольно хорошее приближение.

Вообще говоря, для вычисления длины окружности Вселенной с точностью до радиуса атома водорода достаточно знание 39 знаков числа π. Тем не менее, это не мешает специалистам вычислять число π на компьютере с очень большим количеством знаков. Текущий рекорд принадлежит Ясумасе Канаде из Токийского университета, который в 1996 году вычислил 6 миллиардов знаков десятичного разложения числа π. Недавно прошел слух о том, что русские по происхождению братья Чудновские из Нью-Йорка вычислили 8 миллиардов знаков десятичного разложения числа π и намереваются вычислить триллион десятичных знаков. Если Канада или братья Чудновские вознамерились бы продолжать свои вычисления до тех пор, пока их компьютеры не исчерпают всю энергию во Вселенной, то и тогда им не удалось бы найти точное значение числа π. Нетрудно понять, почему Пифагор настаивал на том, чтобы сведения о существовании столь необычных математических «зверей» оставались достоянием лишь узкого круга посвященных.

Значение числа π с более чем 1500 знаками

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

0974944592307816406286208998628034825342117067982148086

5132823066470938446095505822317253594081284811174502841

0270193852110555964462294895493038196442881097566593344

6128475648233786783165271201909145648566923460348610454

3266482133936072602491412737245870066063155881748815209

2096282925409171536436789259036001133053054882046652138

4146951941511609433057270365759591953092186117381932611

7931051185480744623799627495673518857527248912279381830

1194912983367336244065664308602139494639522473719070217

9860943702770539217176293176752384674818467669405132000

5681271452635608277857713427577896091736371787214684409

0122495343014654958537105079227968925892354201995611212

9021960864034418159813629774771309960518707211349999998

3729780499510597317328160963185950244594553469083026425

2230825334468503526193118817101000313783875288658753320

8381420617177669147303598253490428755468731159562863882

3537875937519577818577805321712268066130019278766111959

0921642019893809525720106548586327886593615338182796823

0301952035301852968995773622599413891249721775283479131

5155748572424541506959508295331168617278558890750983817

5463746493931925506040092770167113900984882401285836160

3563707660104710181942955596198946767837449448255379774

7268471040475346462080466842590694912933136770289891521

0475216205696602405803815019351125338243003558764024749

6473263914199272604269922796782354781636009341721641219

9245863150302861829745557067498385054945885869269956909

2721079750930295532116534498720275596023648066549119881

8347977535663698074265425278625518184175746728909777727

938000816470200161452491921732172147723501414419735

Когда Евклид отважился рассмотреть проблему иррациональности в десятом томе «Начал», его цель состояла в том, чтобы доказать существование числа, не представимого в виде обыкновенной дроби. Вместо того, чтобы доказывать иррациональность числа π, Евклид рассмотрел квадратный корень из двух, √2, — число, которое при умножении на себя дает число 2. Чтобы доказать, что число √2 не представимо в виде обыкновенной дроби, Евклид воспользовался доказательством от противного и предположил, что число √2 представимо в виде обыкновенной дроби. Затем он показал, что эту гипотетическую дробь всегда можно упростить. Упрощение дроби означает, что числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же целое число. Например, дробь 8/12 можно упростить, сократив числитель и знаменатель на 2 и превратив ее в дробь 4/6. В свою очередь, дробь 4/6 можно упростить до 2/3, а вот дробь 2/3 уже дальнейшему упрощению не поддается, почему и называется несократимой дробью. Евклид показал, что гипотетическая дробь, по предположению представляющая число √2, может быть упрощаема снова и снова бесконечное число раз, но так и не приводится к несократимому виду. Но это нелепо, так как все дроби приводимы к несократимому виду. Следовательно, гипотетическая дробь не может существовать. Это означает, что число √2 не представимо в виде дроби и, следовательно, иррационально. Ход доказательства Евклида приведен в Приложении 2.