Используя доказательство от противного, Евклид сумел доказать существование иррациональных чисел. До Евклида все числа, с которыми люди имели дело, были представимы как целые числа или обыкновенные дроби, но евклидовы иррациональные числа игнорировали традиционное представление чисел. Не существует иного способа описать число, равное квадратному корню из 2, как записав его в виде √2, поскольку его нельзя представить в виде обыкновенной дроби, а любая попытка записать √2 в виде десятичной дроби не позволяет получить ничего, кроме приближения, например, 1,414213562373…

Хотя Евклид, несомненно, питал интерес к теории чисел, его величайший вклад в математику был сделан в другой области. Истинной страстью Евклида была геометрия, и из тринадцати книг, составляющих «Начала», книги I–VI посвящены планиметрии (двумерной геометрии), а книги XI–XIII — стереометрии. Этот свод геометрических знаний был настолько полным, что содержание «Начал» составляло основу программ по геометрии в школах и университетах на протяжении следующих двух тысяч лет.

Математиком, составившим подобный свод знаний по теории чисел, стал Диофант Александрийский, последний защитник греческой традиции. Хотя достижения Диофанта в теории чисел достаточно задокументированы в его книгах, по существу ничего больше об этом замечательном математике не известно. Не известно, где он родился. В Александрию Диофант мог прибыть в любое время на протяжении «окна», протяженностью в пять веков! В своих сочинениях Диофант цитирует Гипсикла, из чего можно сделать вывод, что Диофант жил после 150 года до н. э.; с другой стороны, труды самого Диофанта цитирует Теон Александрийский, из чего следует, что Диофант жил до 364 года н. э. Разумной обычно считается дата — около 250 года н. э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта. По преданию, оно было высечено на его надгробии в виде задачи-головоломки, словно специально предназначенной любителям математики:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь».

Требовалось вычислить продолжительность жизни Диофанта. Решение этой задачи приведено в Приложении 3.

Эта головоломка может служить примером задач того рода, которые любил Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Ныне такие задачи известны под названием диофантовых. Деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения, в том числе и для Пьера де Ферма. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян.

На протяжении столетий, разделяющих Евклида и Диофанта, Александрия продолжала оставаться интеллектуальной столицей цивилизованного мира, но весь этот период великий город находился под угрозой нападения иностранных армий. Первое крупное нападение произошло в 47 году до н. э., когда Юлий Цезарь предпринял попытку сбросить Клеопатру с трона, предав сожжению александрийский флот. Библиотека, расположенная неподалеку от гавани, сильно пострадала от пожара. Сотни тысяч книг погибли. К счастью для науки, Клеопатра по достоинству ценила значение Библиотеки и решительно вознамерилась восстановить ее в прежней славе. Марк Антоний понял, что путь к сердцу просвещенной царицы лежит через Библиотеку, и пошел маршем на Пергам. В этом городе уже была заложена своя библиотека. Правители города надеялись, что со временем она станет самым богатым книгохранилищем в мире, но Марк Антоний помешал сбыться этим надеждам, отправив все собрание книг в Египет и восстановив тем самым главенство Александрии.

На протяжении четырех следующих веков Библиотека продолжала пополнять свою коллекцию — до 389 года н. э., когда ей был нанесен первый из двух роковых ударов. Причиной обоих ударов стал религиозный фанатизм. Византийский император Феодосий приказал епископу Александрийскому Теофилу разрушить все языческие монументы. К сожалению, восстанавливая и восполняя Библиотеку, Клеопатра решила отвести под нее храм Сераписа. По приказу императора, это здание было разрушено, а «языческие» ученые, пытавшиеся спасти рукописи, накопленные за шесть веков, растерзаны толпой фанатиков. Началась мрачная эра Средних веков.

Несколько драгоценных экземпляров наиболее важных книг пережили бойню, учиненную христианами, и ученые продолжали наведываться в Александрию в поисках знания. Но в 642 году последовало нападение мусульман. На этот раз поражение потерпели христиане. На вопрос, что делать с Библиотекой, одержавший победу халиф Омар заявил, что книги, противоречащие Корану, должны быть уничтожены как вредоносные, а книги, согласующиеся с Кораном, также должны быть уничтожены как излишние. Рукописи были брошены в печи, которыми отапливались публичные бани, и греческая математика обратилась в дым. Не удивительно, что большая часть «Арифметики» Диофанта оказалась уничтоженной. Следует считать чудом, что шесть книг «Арифметики» смогли уцелеть, пережив трагедию Александрии.

Следующую тысячу лет математика на Западе пребывала в упадке, и только несколько выдающихся ученых Индии и Аравии не дали ей окончательно угаснуть. Они скопировали формулы из сохранившихся греческих математических рукописей и принялись заново придумывать для этих формул утраченные теоремы. Кроме того, они пополнили математику новыми элементами и среди прочего изобрели число нуль.

В современной математике нуль выполняет две функции. Во-первых, нуль позволяет нам различать такие числа, как 52 и 502. В системе счисления, в которой положение цифры определяет ее значение, символ 0 необходим для обозначения пустой позиции. Например, 52 означает 5 раз по десять плюс 2 раза по единице, в то время как 502 означает 5 раз по сто, 0 раз по десять и 2 раза по единице. Нуль играет решающую роль при устранении неоднозначности. Даже вавилоняне, жившие за три тысячи лет до н. э., оценили использование нуля во избежание путаницы, и греки восприняли идеи вавилонян, используя кружок, похожий на тот символ нуля, который мы используем сегодня. Однако нуль выполняет еще одну, более деликатную и значительную, функцию, которую полностью оценили лишь через несколько столетий индийские математики. Они осознали, что нуль не только позволяет заполнить пробел между значащими цифрами, но и существует сам по себе, независимо от других чисел. Так абстрактное понятие «ничего» впервые обрело свой осязаемый символ.

Современному читателю изобретение нуля может показаться тривиальным шагом, но не следует забывать о том, что именно вторая, более глубокая функция нуля ускользнула от внимания всех древнегреческих философов, в том числе Аристотеля. По мнению Аристотеля нуль должен был быть объявлен вне закона, поскольку он нарушал единообразие других чисел: деление обыкновенного числа на нуль приводило к непостижимому результату. К VI веку индийские математики уже не заметали проблему нуля под ковер, а индийский ученый VII века Брахмагупта оказался уже настолько искушенным, что использовал деление на нуль для определения бесконечности.

В то время как Европа оставила благородный поиск истины, Индия и Аравия укрепляли знание, тайно похищенное на пепелище Александрии, и излагали его на новом, более выразительном языке. Индийские и арабские математики не только пополнили математический словарь нулем, но и заменили примитивные греческие символы и неуклюжие римские числительные общепринятой и ныне системой счисления. Последнее достижение, как и введение нуля, может показаться ничтожно малым продвижением, но попробуйте умножить CLV на DCI, и вы оцените значение этого прорыва: эквивалентная задача умножения 155 на 601 гораздо проще. Развитие любой научной дисциплины зависит от ее способности развивать свои идеи и обмениваться ими, а это в свою очередь определяется научным языком, который должен быть достаточно подробным и гибким. Идеи Пифагора и Евклида отличались большим изяществом, несмотря на грубое и неуклюжее оформление, но после перевода в арабскую символику они расцвели и принесли много плодов, породив новые и богатые понятия.