Для непрерывной П. ф. комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T₁ и T₂ , отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k₁ T₁ + k₂ T₂ , где k₁ = 0,±1, ±2,... и k₂ = 0, ±1, ± 2,.... В этом случае П. ф. называется двоякопериодической функцией . Рассматриваются ещё двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f (x + T₁ ) = a₁ f (x ) и f (x + T₂ ) = a₂ f (x ) или f (x + T₁ ) =

 и f (x + T₂ ) -= e^a ₂ ^x f (x )].

  Сумма П. ф. с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр., cos х + cos

) не есть П. ф.]; однако функции такого рода обладают многими свойствами, приближающими их к П. ф.; такие функции являются простейшими примерами так называемых почти периодических функций . П. ф. играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.

Периодические возмущения

Периоди'ческие возмуще'ния в астрономии, см. в ст. Возмущения небесных тел .

Периодические психозы

Периоди'ческие психо'зы, повторно возникающие психические расстройства. Учение о П. п. зародилось в 40-х гг. 20в. и разрабатывалось преимущественно советскими психиатрами (Г. Е. Сухарева, Р. Я. Голант, А. З. Розенберг, Т. Б. Никонова и др.). Заболевания связывают с наследственным предрасположением, для реализации которого необходим внешний толчок — переутомление, инфекция, психическая или физическая травма. Согласно др. точке зрения, принятой в современной психиатрии, П. п.— вариант течения шизофрении или маниакально-депрессивного психоза . В клинической картине преобладают возбуждение, тревога, страх, возможны помрачения сознания, галлюцинации . Характерны острое начало и быстрое (через 2—3 нед , иногда через несколько сут ) выздоровление. П. п. хорошо поддаются лечению психотропными средствами . В межприступные периоды психика больных вполне сохранна.

Периодические решения

Периоди'ческие реше'ния уравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляют П. р. системы дифференциальных уравнений

 

, i = 1,..., n (1)

  Это такие решения y_i = j_i (t ), которые состоят из периодических одного и того же периода функций независимого переменного t , то есть для всех значений t

  j_i (t + t ) = j_i (t )

где t > 0—период решения. Если система (1) стационарна, то есть функции f_i = F_i (y_i ,.... y_n ), где i = 1,..., n , явным образом не зависят от t , то в фазовом пространстве (y_i ,..., y_i ) П. р. отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя

, где , которым соответствуют тривиальные (постоянные) П. р. Что касается нетривиальных П. р., то задача о нахождении их решена лишь для дифференциальных уравнений специальных типов.

  В теории нелинейных колебаний особое значение имеет система двух уравнений

 

,  (2)

фазовым пространством которой является плоскость (х , у ). Точки покоя системы (2 ) находятся из системы уравнений: Р (х , у ) = 0, Q (x , у ) = 0. Система (2 ) заведомо не допускает нетривиальных П. р., если

 (критерий Бендиксона). Обычным приёмом обнаружения нетривиальных П. р. системы (2 ) (если они существуют) является построение такой ограниченной кольцеобразной области K (см. рис. ), что все траектории входят в неё при t ® +¥ или при t ® -¥ ; если область К не содержит точек покоя системы (2 ), то в К обязательно найдётся замкнутая траектория, которой соответствует нетривиальное П. р. (принцип Пуанкаре — Бендиксона). Другой подход к обнаружению П. р. даёт изучение поведения решений в окрестностях особых точек; именно, в окрестности центра интегральные кривые системы (2 ) замкнуты и им соответствуют нетривиальные П. р.

  Лит.: Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.— Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953.

Рис. к ст. Периодические решения.

Периодический закон Менделеева

Периоди'ческий зако'н Менделе'ева, фундаментальный закон, устанавливающий периодическое изменение свойств химических элементов в зависимости от увеличения зарядов ядер их атомов. Открыт Д. И. Менделеевым в 1869 при сопоставлении свойств всех известных в то время элементов и величин их атомных весов. Термин «периодический закон» Менделеев впервые употребил в ноябре 1870, а в октябре 1871 дал окончательную формулировку П. з.: «... свойства элементов, а потому и свойства образуемых ими простых и сложных тел, стоят в периодической зависимости от их атомного веса» («Периодический закон. [Основные статьи]», 1958, с. 111). Графическим (табличным) выражением П. з. явилась разработанная Менделеевым периодическая система элементов .

  Физический смысл П. з. был вскрыт лишь после выяснения того, что заряд ядра атома возрастает при переходе от одного химического элемента к соседнему (в периодической системе) на единицу элементарного заряда. Численно заряд ядра равен порядковому номеру (атомному номеру Z) соответствующего элемента в периодической системе, то есть числу протонов в ядре, в свою очередь равному числу электронов соответствующего нейтрального атома (см. Атом ). Химические свойства атомов определяются структурой их внешних электронных оболочек, периодически изменяющейся с увеличением заряда ядра, и, следовательно, в основе П. з. лежит представление об изменении заряда ядра атомов, а не атомной массы элементов. Наглядная иллюстрация П. з.— кривые периодические изменения некоторых физических величин (ионизационных потенциалов, атомных радиусов, атомных объёмов) в зависимости от Z (см. Атомная физика ). Какого-либо общего математического выражения П. з. не существует.