n /(ln n - 1,08366).

Другой французский математик - Ж. Бертран подметил (но не доказал), что между n и 2n - 2 при n > 3 обязательно появляется хотя бы одно простое число.

Трудно было сомневаться в справедливости этих наблюдений, проверенных на таком большом материале, но доказательство получить не удавалось. А через 40 лет, в 1848-1850 гг., П. Л. Чебышев показал, что если бы Лежандр располагал несравненно большими таблицами, то, скорее всего, постепенно π(n) стало ближе к более простому выражению n / ln n-1. Более точно он доказал, что если

существует, то он равен 1. П.Л. Чебышеву удалось доказать неравенство

из которого следовала гипотеза Бертрана (постулат Бертрана).

Исследования Чебышева по теории чисел сразу же выдвинули молодого русского математика в число первых ученых Европы.

Второй цикл работ, прославивших Чебышева, составили его исследования по теории вероятностей - молодой тогда области математики. Он получил много интересных результатов. Одним из самых известных является неравенство Чебышева, позволяющее оценивать отклонение частоты появления положительного исхода в эксперименте от теоретической вероятности этого события. Чебышев по праву считается основателем русской школы теории вероятностей.

Для П. Л. Чебышева характерен интерес к задачам математики, выдвигаемым практикой. У Чебышева были работы, посвященные черчению географических карт, рациональному раскрою одежды, он даже изготовил чехол, плотно облегающий шар. Но особенно много сил отдал ученый теоретическим и практическим вопросам создания механизмов. Ему принадлежит много интересных конструкций, в том числе арифмометр, полуавтомат, самокатное кресло, гребной автомат, который повторял движение весел в лодке. Создание механизмов, осуществляющих движение по тем или иным кривым, привело П.Л. Чебышева к рассмотрению вопроса о наилучшем приближении произвольных кривых кривыми из того или иного класса (которые может реализовывать механизм). За этим последовали задачи о приближении произвольных функции многочленами, и были введены различные классы многочленов, лучше всего осуществляющие это приближение. Широкую известность получили многочлены Чебышева, которые имеют наименьший возможный максимум на отрезке [-1,1] среди многочленов вида xⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ (наименее уклоняются от нуля).

П. Л. Чебышев создал первую математическую школу в России, она называлась Петербургской математической школой, из которой вышли первоклассные ученые.

------------------------------------------

В Китае и Японии для записи чисел применялись иероглифы.

Современная десятичная запись натуральных чисел впервые появилась в Индии в VI в. Через арабов, завоевавших в VII-VIII вв. обширные районы Средиземноморья и Азии, индийская нумерация получила широкое распространение. Отсюда и название - арабские цифры.

В страны Европы новая, индийская нумерация была также занесена арабами в X-XIII вв., однако вплоть до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось ставить только римские цифры. Лишь к началу XIX в. индийскую нумерацию стали применять повсеместно.

В России уже в XVII в. во всех без исключения математических рукописях встречается только позиционная десятичная система счисления.

ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ

Теория чисел - раздел математики, в котором изучаются свойства чисел.

Основной объект теории чисел - натуральные числа (см. Число). Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел - это делимость. Первый круг задач теории чисел - разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа, т.е. числа, делящиеся только на 1 и на себя; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 - вот первые десять простых чисел (число 1 не относят к простым). Замечательная теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители, причем единственным способом (с точностью до порядка их расположения). Разложив два числа на простые множители, несложно определить, делится одно из них на другое или нег. Но до сих пор бывает трудно выяснить, является ли данное большое число простым, т.е. делится ли оно на какое-либо другое число, кроме себя и единицы.

С разложением чисел на простые множители связан ряд арифметических функций. Укажем некоторые из них. φ(n) - функция Эйлера - количество чисел от 1 до n, взаимно простых с числом n (т.е. не имеющих с n общих множителей, кроме единицы); α(n) - количество делителей числа n, τ(n) - сумма всех делителей числа n, π(n) - функция Чебышева - количество простых чисел, не превосходящих n. С помощью этих функций выражаются многие свойства натуральных чисел. Теорема Евклида утверждает, что простых чисел бесконечно много. Это означает, что π(n) → ∞ при возрастании числа n. Удалось выяснить, как быстро функция π(n) стремится к бесконечности. Оказалось, что примерно так же, как функция

n/ln n.

Эта теорема носит название асимптотического закона распределения простых чисел. Она была сформулирована и в существенной части доказана П. Л. Чебышевым (1849), а полностью доказана лишь 50 лет спустя.

Асимптотический закон распределения простых чисел - это результат так называемой аналитической теории чисел, которая широко использует методы математического анализа для исследования теоретико-числовых функций. Обнаруженный во второй половине XIX в. факт связи такого дискретного объекта, как целые числа, с глубокими свойствами функций оказал большое влияние на развитие теории чисел.

Разложение чисел на множители учитывает только структуру множества натуральных чисел, связанную с умножением, наиболее глубокие и трудные задачи теории чисел возникают при сравнении сложения и умножения. К числу таких задач можно отнести, например, проблему Гольдбаха - можно ли всякое четное число представить как сумму двух простых; великую теорему Ферма (см. Ферма великая теорема) - можно ли n-ю степень числа представить как сумму n-х степеней двух каких-либо чисел и т.п.

Теория чисел привлекательна тем, что в ней много простых по формулировкам, но трудных и интересных задач. Этих задач - решенных и нерешенных - накопилось очень много, и часто теория чисел представляется собранием разрозненных изящных головоломок. Однако это не так. Теория чисел создала свои замечательные методы, причем многие из них активно развиваются в последние десятилетия, что влило новую живую струю в эту самую древнюю часть математики.

Классическим методом теории чисел является метод сравнений. Отождествляя между собой числа, дающие одинаковые остатки при делении на выбранное число, часто удается установить невозможность какого-либо соотношения. Например, рассматривая остатки от деления на 3 (или, как говорят, по модулю 3), легко доказать неразрешимость в натуральных числах уравнения 3x² + 4y² = 5z².

Аналитический метод состоит, как мы уже говорили, в том, что, отправляясь от чисел, строят функции, которые исследуют методами математического анализа. Так, советский ученый академик И. М. Виноградов доказал вариант проблемы Гольдбаха - представимость достаточно большого нечетного числа в виде суммы трех простых.

ИВАН МАТВЕЕВИЧ ВИНОГРАДОВ

(1891-1983)

И. М. Виноградов - русский советский математик, дважды Герой Социалистического Труда (1945, 1971), лауреат Ленинской (1972) и Государственных (1941, 1983) премий, академик (1929).