Эйлера функция

Э'йлера фу'нкция, число j(а) натуральных чисел, меньших, чем а, и взаимно простых с а:

,

где p₁,..., p_k— простые делители числа а. Введена Л. Эйлером в 1760—61. Если числа а и b взаимно просты, тоj(ab) = j(а) j(b). При т> 1 и наибольшем общем делителе (а, m) = 1, а, m — взаимно просты, имеет место сравнение a^j(m)=1 (mod m) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во многих вопросах чисел теории.

Эйлера числа

Э'йлера чи'сла в математике, целые числа Е_п, являющиеся коэффициентами при tⁿ/n!, в разложении функции 1/cht (см. Гиперболические функции) в степенной ряд:

  Введены Л. Эйлером в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением (Е+1) ⁿ+(E¾1) ⁿ = 0, n = 1, 2, 3,..., E₀ = 1 (после возведения в степень надо вместо E^k подставить E_k) и с Бернулли числами — соотношениями

,

 и .

  Встречаются в различных формулах математического анализа.

Эйлера число

Э'йлера число', один из подобия критериев движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Eu определяют формулой

(иногда 2p/ru²), где p₂, p₁ — давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ru²/2— скоростной напор, r — плотность жидкости или газа, u — скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с кавитацией аналогичный критерий называется числом кавитации

,

где p— характерное давление, р_н— давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu = 2p/ru² связано с другими критериями подобия — Маха числом М и отношением удельных теплоёмкостей среды g — формулой Eu = 2/gM², где g = c_p/c_v (c_p— удельная теплоёмкость при постоянном давлении, c_v — то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. Эйлера.

Эйлера-Маклорена формула

Э'йлера—Макло'рена фо'рмула, формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

где B_v—Бернулли числа, R_n — остаточный член. Э.—М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Например, при m = 1, р = 0, n = 2m + 1,

Э. — М. ф. даёт следующее выражение:

.

  Э.—М. ф. была впервые приведена Л. Эйлером в 1738. Независимо формула была открыта позднее К. Маклореном (1742).

Эйлера-Фурье формулы

Э'йлера—Фурье' фо'рмулы, формулы для вычисления коэффициентов разложения функции в тригонометрический ряд (ряд Фурье). Э.—Ф. ф. названы по имени Л. Эйлера, давшего (1777) первый их вывод, и Ж. Фурье, систематически (начиная с 1811) пользовавшегося тригонометрическими рядами при изучении задач теплопроводности. См. Фурье коэффициенты, Тригонометрический ряд.

Эйлерова характеристика

Э'йлерова характери'стика многогранника, число a_o—a₁ +a₂, где a_o — число вершин, a₁ — число рёбер и a₂— число граней многогранника. Если многогранник выпуклый или гомеоморфен (см. Гомеоморфизм) выпуклому, то его Э. х. равна двум (теорема Л. Эйлера, 1758, известная ещё Р. Декарту).

  Э. х. произвольного комплекса есть число

, где n — размерность комплекса, a_o — число его вершин, a₁ — число его рёбер, вообще a_k есть число входящих в комплекс k-мерных симплексов. Оказывается, что Э. х. равна  (формула Эйлера—Пуанкаре), где p_k есть k-мерное число Бетти данного комплекса (см. Топология). Отсюда следует топологическая инвариантность Э. х. Ввиду топологической инвариантности Э. х. говорят об Э. х. поверхности, а также полиэдра, подразумевая под этим Э. х. любой триангуляции этой поверхности (этого полиэдра).

  Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М.— Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии. 2 изд., М., 1976.

Эйлеровы интегралы

Э'йлеровы интегра'лы, интегралы вида

 (1)

  (Э. и. первого рода, или бета-функция, изученная Л. Эйлером в 1730—31, ранее рассматривалась И. Ньютоном и Дж. Валлисом) и

 (2)

  [Э. и. второго рода, или гамма-функция, рассмотренная Л. Эйлером в 1729—30 в форме, эквивалентной формуле (2); сама формула (2) встречается у Эйлера в 1781]; название «Э. и.» дано А. Лежандром. Э. и. позволяют обобщить на случай непрерывно изменяющихся аргументов биномиальные коэффициенты

 и факториал n!, ибо, если а и b— натуральные числа, то