f3(р) — число ходов для перемещения р дисков, используя 3 стержня (известное число, см. игру 31).

Тогда наша стратегия дает

f4(n) = f4(р) + f3(n−p) + f4(р).

Нужно выбрать значение р, которое минимизирует эту сумму.

Первые несколько значений для /4 получить легко:

f4(1) = 1, f4(2) = 3, f4(3) = 5.

В этих случаях на самом деле есть только один способ действовать. Вычислите сначала на руках следующие значения. Воспользуйтесь вашим компьютером, чтобы составить таблицу, дающую последовательные значения для f4(n), вместе с оптимальным значением р для каждого n (оно не всегда однозначно определено. Вы по своему произволу можете выбирать из них наименьшее).

Игра 35.

Итеративная программа для игры с 4 стержнями есть обобщение итеративной программы для игры с 3 стержнями. Это видно по рекурсивной форме. Она не идеально проста…

Это замечание позволит вам перейти к любому числу стержней.

Игра 36.

Нужно снова взять все, что было нами оставлено в игре 23. Предположите, что для некоторого р существует такое значение q, что

SG(p, q) = 0.

Покажите, что в этом случае SG(р, q') = 0 для всех q' < q. Следовательно, если р таково, что SG(р, 1) = 0, то должно существовать некоторое g такое, что SG(р, g) = 0, но SG(р, g + 1) ≠ 0; g — наибольшее из значений q, дающих равенство SG(р, q) = 0.

Нужно построить последовательность p_i, g_i.

Вы можете показать, что если g_i = 1, то p_i+1 = p_i + 2, в то время как если g_i > 1, то p_i+1 = p_i + 3.

Хороший способ действия состоит в том, чтобы опереться на геометрические рассмотрения. Числа Спрага-Грюнди интересуют нас только с одной стороны— равны они нулю или нет (у нас нет намерения играть несколько игр одновременно, что избавляет нас от вычисления Ним-сумм и, следовательно, от заботы о значениях ненулевых чисел Спрага-Грюнди). Число Спрага-Грюнди равно нулю тогда и только тогда, когда невозможен никакой переход к нулевому числу. Но положение р, q допускает переходы к p − k, для k ≤ 2q. Следовательно, мы получим SG(p, q) = 0 тогда и только тогда, когда

SG(p − k, k) ≠ 0 для всех k от 1 до 2q.

Нарисуйте на плоскости две перпендикулярные оси, p как абсциссу и q как ординату. Обозначьте точки с нулевыми значениями SG.

Рассмотрите те прямые, которые проходят через точки p c SG(p, 1) = 0. Нужно изучить прямые p − k, k, где меняется от 1, т. е. те, которые параллельны биссектрисе второго и четвертого координатного угла и проходят через точку p − 1, 1.

Мы представили отрезок такой прямой для p = 28 (см. рис. 38). Он пересекает точку с нулевым значением на вертикали 21 = 28 − 7. Значит, нужно ограничить число k шестью, задавая g = 3 при p = 28.

Для p = 34 диагональ, проходящая через 33, 1 проходит над всеми отрезками с 0 для p ≠ 0 и пройдет поэтому, пересекая ось q при q = 34. Поэтому нужно ограничить число k тридцатью тремя и, следовательно, взять g = 33 : 2 = 16.

У вас есть также некоторое число таких p_i, что диагональ, выходящая из p_i − 1, 1, не пересекает никакого отрезка нулей перед осью q, что дает g_i = (p_i − 1) : 2.

Исходя отсюда, следующие числа p определяются диагоналями, которые перерезают вертикальный отрезок, выходящий из p_i так, что p − p_i ≤ g_i = (p_i − 1) : 2. Тогда можно восстановить первоначальную последовательность, несущую нули, вплоть до (p_i − 1) : 2.

Теперь вы легко сможете доказать, что интересующая нас последовательность p_i есть последовательность чисел Фибоначчи.

Составьте программу, перечисляющую p_i, g_i.

Головоломка 20. Полное решение.

Поскольку эта задача всюду решена, предложим также и здесь решение: это избавит вас от поисков других решений; и, кроме того, я буду уверен, что вы посмотрели на все существенные места этой задачи. Есть книги, которые… Но это — совсем другая история.

Заметим сначала, что два ферзя не могут находиться на одной строке (горизонтали) и, поскольку нужно поставить 8 ферзей на 8 строк, то на каждой строке есть ферзь. Поэтому я буду говорить «ферзь k» вместо «ферзь, стоящий на строке k».

Точно также, есть только один ферзь в каждом столбце. Но совершенно ясно, что я не могу управлять в одно и то же время размещением и по строкам и по столбцам — собственно, это от меня в задаче и требуется. Я собираюсь поэтому размещать ферзей на последовательных строках, начиная сверху.

Чтобы начать, я помещаю ферзя в первый столбец на первой строке. Тогда мне остается решить меньшую задачу; разместить 7 ферзей на 7 последних строках шахматной доски, учитывая, что ферзь стоит на первом поле первой строки. Я получу тогда все решения с ферзем 1 в столбце 1. Затем я поставлю ферзя 1 в столбец 2 и разрешу задачу с 7 ферзями, и т. д. — 8 раз.

Обобщим. Мы собираемся решить частную, но нужную задачу: полагая, что уже есть ферзи, правильно размещенные на строках от 1 до k − 1, и зная их положение, найти все возможные решения, размещая подходящим образом ферзей с номерами от k до 8. Обозначим программу, которая это делает, через HR(k)[24]. Стратегия очень проста:

— мы пробегаем все поля на строке k,

— если поле свободно (т. е. не бьется уже поставленными ранее ферзями), то мы ставим на него ферзя k и решаем ту же задачу для k + 1.

При k = 8 задача проще всего. Не может быть более одного свободного столбца. Если он есть, то мы ставим туда последнего ферзя и записываем полученное таким образом решение. Если свободного столбца нет, то нет и решения.

Для задачи HR (k) необходимо знание состояния игры, получающегося после размещения первых k − 1 ферзей. Это предполагает по крайней мере, что известны столбцы, занятые этими ферзями. Может быть, следовало бы сказать больше. Обозначим символически «занять k, i» операцию, которая констатирует факт, что в столбце i на строке k помещен ферзь.

Операция «освободить k, i» отменяет то, что делает операция «занять k, i». Для решения задачи нужно изложить последовательность инициализации, отмечающую, что ничего не сделано и ни один ферзь в игре не участвует, а затем вызвать HR (1).